Euler系を用いたSelmer群の研究と数論への応用

今年度は、階数0のEuler系とKolyvagin系の理論の構築、及びそれを用いた数論への応用に関する研究を行なった。まず、高階Stark系の場合と同様にして、階数0のStark系の成す加群に対してレギュレーター写像を構成した。この写像によってStark系の満たす関係式がどのように移るかを観察することで階数0のKolyvagin系を定義することに成功した。さらに、ある条件の下で、このレギュレーター写像が階数0のStark系の成す加群と階数0のKolyvagin系の成す加群の間の同型写像を与えることを証明し、その系として階数0のKolyvagin系の成す加群が階数1の自由加群になる事を示した。また、階数0のStark系の理論とレギュレーター写像を用いて、階数0のKolyvagin系がSelmer群の0次Fittingイデアルを記述することも証明できた。以上の結果により、比較的満足のいく階数0のKolyvagin系の理論を構成できた。階数0のSelmer構造の具体例として、楕円曲線から定まる古典的なSelmer構造がある。この場合に、modular symbolから定まる階数0のEuler系を用いて階数0のKolyvagin系を構成することができた。さらに、有理数体上の楕円曲線に対する岩澤主予想の下で、このmodular symbolから定まる階数0のKolyvagin系が基底となることを示した。数論への応用として、構成した階数0のKolyvagin系の理論を用いることで、modular symbolから定まる不変量を用いてp-Selmer群の次元を記述することができるという栗原の予想を解決することができた。

今年度は、階数0のEuler系とKolyvagin系の理論の構築、及びそれを用いた数論への応用に関する研究を行なった。まず、高階Stark系の場合と同様にして、階数0のStark系の成す加群に対してレギュレーター写像を構成した。この写像によってStark系の満たす関係式がどのように移るかを観察することで階数0のKolyvagin系を定義することに成功した。さらに、ある条件の下で、このレギュレーター写像が階数0のStark系の成す加群と階数0のKolyvagin系の成す加群の間の同型写像を与えることを証明し、その系として階数0のKolyvagin系の成す加群が階数1の自由加群になる事を示した。また、階数0のStark系の理論とレギュレーター写像を用いて、階数0のKolyvagin系がSelmer群の0次Fittingイデアルを記述することも証明できた。以上の結果により、比較的満足のいく階数0のKolyvagin系の理論を構成できた。階数0のSelmer構造の具体例として、楕円曲線から定まる古典的なSelmer構造がある。この場合に、modular symbolから定まる階数0のEuler系を用いて階数0のKolyvagin系を構成することができた。さらに、有理数体上の楕円曲線に対する岩澤主予想の下で、このmodular symbolから定まる階数0のKolyvagin系が基底となることを示した。数論への応用として、構成した階数0のKolyvagin系の理論を用いることで、modular symbolから定まる不変量を用いてp-Selmer群の次元を記述することができるという栗原の予想を解決することができた。