グラフゼータ函数の行列式表示から定まる量子ウォークモデルの研究

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今年度は，「グラフゼータの逆アークの定義の一般化と伊原表示」について結果を得た．この研究の目的は，量子ウォークのシフト作用素とグラフゼータの関係を明らかにする事である．グラフゼータを単純グラフ（に対する対称有向グラフ）上で考える場合，各アークに対して逆アークは一意に定まるが，一般の有限有向グラフ上で考える場合は一意に定まるとは限らない．また，ループにおける逆アークの定義の仕方は，これまで少なくとも２通り存在した．基本的な量子ウォークモデルとの対応を考える上では，その内１つの逆アークの定義を採用すれば十分であるが，他の量子ウォークモデルとの対応を考えるためには，「逆アークの定義に依らない伊原表示の定式化」が必要である．本研究では，一般荷重ゼータにおいて伊原表示が得られるための逆アークの十分条件を示した．この条件は３つしかなく，逆アークであれば当たり前に満たして欲しい自然な条件である．当然．先行研究の逆アークの定義は全てこの条件を満たしており，その条件を満たすような新しい逆アークの設定も可能であることが判明した．この条件のみを満たす逆アークは，謂わば先行研究の逆アーク一般化と言える．さらに，得られた逆アークの一般的な定義のもと，一般の有限有向グラフ上の一般荷重ゼータの伊原表示を導出した．先行研究では逆アークの設定の仕方に依存する方法で導出を行っていたため，得られる伊原表示も逆アークの設定に大きく左右される形で与えられていた．一方，本結果では，逆アークの設定に依存しない導出を行ったため，逆アークに依存しない，ごく自然な形式の伊原表示を与えた．