Zeta functions associated with discrete systems and its applications

有限グラフや（擬）有限力学系、あるいは有限群の作用などの離散的な対象に対して定義されるゼータ函数を研究対象としている。そこでは、定義のあり方に差異はあれども、「指数表示」、「オイラー（積）表示」、「橋本表示」とよばれる「三種の表示」が、等しく観察される。本研究課題では、この「三種の表示」の成立根拠を模索し、それを「組合せ論的ゼータ函数」という枠組みで理解することに成功している。一方、組合せ論的ゼータ函数の原型である「伊原ゼータ函数」には、三種の表示のほかに、「伊原表示」とよばれる四種類目の表示をもつことが、その原論文において知られており、この伊原表示の構成が、その後のグラフゼータ函数の研究において、主題の一つであり続けてきた。伊原以降の展開においても、様々なグラフゼータ函数が定義され、その伊原表示が求められてきた。本研究課題の目的は、これら各論に終始してきたグラフゼータ函数に対する伊原表示の研究を、より一般の枠組みである組合せ論的ゼータ函数に対して、その一般論を与えることにある。さらに底空間としての有限グラフを、一般の有限有向グラフに拡張し、その上で正則被覆や、さらにゼータ函数を越えて アルチン L-函数の分解則の記述を経由して、その後は跡公式による理解を目指す。現在、「一般荷重ゼータ函数」とよばれる組合せ論的ゼータ函数を考察し、その伊原表示の構成を一般の有限有向グラフに対して行うことに成功した。伊原表示の構成には「逆辺」の定義が重要になる。本研究課題では、底空間の有向グラフには重複辺を許容しており、逆辺をいかに定義するかが大きな問題となる。直近の研究結果では、重複辺を許す有向グラフに対して逆辺の一般的定義を与え、その定義のもとに一般荷重ゼータ函数の伊原表示を与えることに成功した。

有限グラフや（擬）有限力学系、あるいは有限群の作用などの離散的な対象に対して定義されるゼータ函数を研究対象としている。そこでは、定義のあり方に差異はあれども、「指数表示」、「オイラー（積）表示」、「橋本表示」とよばれる「三種の表示」が、等しく観察される。本研究課題では、この「三種の表示」の成立根拠を模索し、それを「組合せ論的ゼータ函数」という枠組みで理解することに成功している。一方、組合せ論的ゼータ函数の原型である「伊原ゼータ函数」には、三種の表示のほかに、「伊原表示」とよばれる四種類目の表示をもつことが、その原論文において知られており、この伊原表示の構成が、その後のグラフゼータ函数の研究において、主題の一つであり続けてきた。伊原以降の展開においても、様々なグラフゼータ函数が定義され、その伊原表示が求められてきた。本研究課題の目的は、これら各論に終始してきたグラフゼータ函数に対する伊原表示の研究を、より一般の枠組みである組合せ論的ゼータ函数に対して、その一般論を与えることにある。さらに底空間としての有限グラフを、一般の有限有向グラフに拡張し、その上で正則被覆や、さらにゼータ函数を越えて アルチン L-函数の分解則の記述を経由して、その後は跡公式による理解を目指す。現在、「一般荷重ゼータ函数」とよばれる組合せ論的ゼータ函数を考察し、その伊原表示の構成を一般の有限有向グラフに対して行うことに成功した。伊原表示の構成には「逆辺」の定義が重要になる。本研究課題では、底空間の有向グラフには重複辺を許容しており、逆辺をいかに定義するかが大きな問題となる。直近の研究結果では、重複辺を許す有向グラフに対して逆辺の一般的定義を与え、その定義のもとに一般荷重ゼータ函数の伊原表示を与えることに成功した。