Prikry-type forcings and its applications to singular cardinal combinatorics

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本研究計画の課題の1つであった, 偏極分割関係の問題は飽和イデアルの調査へと還元されることから飽和イデアルの調査を行っていたが, 本年度はより一般の集合上のイデアルに注目し研究を行った. 前年度, 後続基数上のcenteredイデアルの存在がPrikry型強制法で保存されることを証明した. その際の証明は組合せ論的なものだったが, 代数的な証明を発見することで, 双対定理を通しより一般の集合上のイデアルに対しても同様であることが証明出来た. 特に膨大基数型とも称されるイデアルについて成立する. 膨大基数型のイデアルはそれ自身応用も多く見られる. 特に膨大基数型のcenteredイデアルの存在からグラフの彩色数に関する反映原理が導出されることを確認し, これにより, 特異基数の後続基数上でグラフの彩色数に関する反映原理が成立するモデルを新たに得, 現在論文にまとめ投稿中である.同論文ではPrikry型強制法で得たイデアルがlayeredでないといった結果も含んでいたが, この結果をより拡張し特異基数の後続基数上にはlayeredイデアルが存在しえない事を証明した. この結果はRIMS講究録に投稿し, 掲載予定である.前年度の調査の1つにKunenの飽和イデアルの飽和性の成立可否を特定するといった結果があった. これと合わせ, Laverの飽和イデアルのモデルに対しても類似の調査を行い, 論文にまとめ投稿した. これは受諾され掲載予定である.また, 膨大基数型のイデアルが存在するとき, それがCohenのBoole代数を完備部分代数として含むと偏極分割関係が否定される事が知られていたが, 知られている証明には不備があった. その不備をHajnal--Juhasz彩色の概念を導入することで指摘し, 他研究者の協力の下正しい証明が改めて発見された.