非可算無限グラフの彩色に関する反映原理について

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2022年度は主に以下の３つの研究成果が得られた．(1) Rado 予想の類似の反映原理として，Zhang は σ-Baire 木の反映原理を定式化している．この反映原理は，基数算術に対して Rado 予想と同様の帰結を持つことが知られている．本研究ではこの反映原理の高階バージョンが基数算術にどのような帰結をもたらすかを研究し，２のアレフ０乗やアレフ１乗に上限を与えないことを示した．(2) Munster 大学大学院生の安田泰智氏との共同研究で，Neeman 崩壊によって超コンパクト基数をアレフ２に崩壊したモデルで，どのような反映原理が成り立つかを調査した．このモデルでは，Rado 予想や定常反映原理が成り立たないが，定常反映原理を少し弱めたものが成り立つことを示した．またこの反映原理からはアレフ１上の非定常イデアルがプレシピタスになることも示した．(3) 神戸大学名誉教授の渕野昌とともに高階無限論理のコンパクト性について研究した．基数κに対して，κ未満個の連言と選言を許す高階論理がコンパクトであることは，κが拡張可能基数であることと同値になることが，Magidor によって示されている．本研究では，この高階無限論理で濃度がκ以下の言語のコンパクト性について考察した．特に，弱拡張可能基数という巨大基数を新たに定式化し，このコンパクト性が，κが弱拡張可能基数であることと同値になることを証明した．また，弱拡張可能基数と他の巨大基数の大きさや無矛盾性の強さの比較も行った．