整閉包の理論の新展開と局所環論への応用

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昨年度に引き続き、2次元正則局所環上の整閉加群の研究を行った。今年度は主に、直既約整閉加群に付随する行列式イデアルに関する研究に集中した。具体的には、昨年度Kodiyalam氏と行った共同研究で得られた結果の整理・点検に取り組んだ。はじめに、階数2の直既約整閉加群に付随する行列式イデアルの特徴付けに関する結果の整理・点検を行った。この結果は、研究集会やセミナーで発表するとともに、論文としてまとめ専門誌に投稿した。結果を論文にまとめる過程において、別証明のアイディアも得られた。投稿した論文は、審査を受けて、まもなく出版予定である。次に、階数3の場合の結果の整理・点検に取り組んだ。階数3の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルは、あるcolengthの等式をみたすイデアル二つの積で表せないイデアルとして特徴付けられる。この条件は、joint節減を用いたイデアルの等式に言い換えることができる。これを有効に用いることで、一般階数の場合の部分的結果を得た。これらの結果は論文としてまとめ、専門誌に投稿・審査を受けた後、公表する予定である。残る問題は、階数4以上の直既約整閉加群に付随する行列式イデアルの完全な特徴付けである。最初に問題となるイデアルは、位数2の単純整閉イデアル二つの積の形をした位数4の整閉イデアルである。この形の単項式イデアルについて考察を行い、部分的な結果を得た。この例を詳しく解析することで、一般階数の場合の完全解決を目指す。