Structure of algebraic varieties and generalized Jacobian conjecture

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複素数体上のアフィン平面A^2=Spec C[x,y]の不分岐自己準同型写像は同型写像であるというのが，２次元のジャコビアン予想である．既に，7,８０年間，多数の数学者の努力にも拘わらず，未解決の問題である．アフィン平面亜＾２の自己同型群Aut(A^2)の有限部分群Gで鏡映部分群を含まないものは分類されていて，よく知られている．そこで，A^２の自己準同型写像fで有限部分群Gの作用と可換なものを考える．X=A^2/GをA^２のGによる商とすると，Xの構造はA^1*-ファイブレーションを持つ正規プラトニック曲面として既知であり，自己準同型写像fはXの不分岐自己準同型写像Fを引き起こす．このとき，fが同型写像であることと，FがXの同型写像であることは同値になる．今回，Gの位数が偶数ならば，Fは同型写像になることを証明した．Gの位数が奇数の場合は未解決である．証明は，Xが持つA~1*－ファイブレーションが自己準同型写像Fで保存されるかどうかに帰着される．ジャコビアン予想の解決としては部分的で，制限的であるが，肯定的結果を得る道筋を明示できたことは小さくない貢献である．さらに，ジャコビアン予想をテーマとした教科書「Affine Algebraic Geometry, Geometry of polynomial rings」を完成した．