Orderings in 3-manifold groups and Heegaard Floer L-spaces

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3次元多様体の基本群において，非自明な元が共役ねじれ元であるとは，その元の共役をいくつか掛け合わせることによって単位元を生成できるときをいう．また，単位元を生成するために必要となる共役の最小個数を，その共役ねじれ元の位数とよぶ．その定義から，位数は２以上となる．共役ねじれ元の位数の関する研究はほとんどなく，以前に研究代表者が共同研究の中で，安定交換子長を用いた位数の評価を与えたのが唯一といってよい．今年度は，まず結び目群の場合に，位数２の共役ねじれ元を含むための必要十分条件を与えた．それは，結び目の外部のトーラス分解の構造で決定され，偶数型のトーラス結び目空間か偶数型のケーブル空間を含む場合に限ることが示された．この帰結として，双曲結び目の結び目群には，位数２の共役ねじれ元は存在しないことがわかる．この結果は国内の学術雑誌にすでに受理されている．次に，上述の結果を一般の3次元多様体の基本群に拡張した．こちらもトーラス分解の構造が鍵となった．位数２の共役ねじれ元が存在するのは，トーラス分解においてザイフェルト多様体が含まれており，そのザイフェルト多様体のファイブレーションが向き付け不可能な曲面を底空間にもつか，指数が偶数の例外ファイバーをもつときである．さらに，位数２の共役ねじれ元の分類まで行った．この結果は共著論文としてまとめ，国際学術雑誌に投稿中である．へガード・フレア・ホモロジー理論において，結び目のコンコーダンス不変量として定義されたウプシロン不変量というものがある．アレキサンダー多項式は異なるが，ウプシロン不変量が一致する双曲的L空間結び目の組を無限に生成することに成功した．また，ウプシロン不変量から逆にアレキサンダー多項式が復元できる双曲的L空間結び目を発見した．この結果は単著論文としてまとめ，国際学術雑誌に投稿中である．