Analyzing the topological properties of the knot contact homology by use of the ghost characters of knots

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究は，結び目群のSL(2,C)表現のうち，メリディアンの像のトレースが0になるもの（トレースフリー表現）に限定し，その指標集合X（が形成する代数的集合）の幾何構造を通して，ノットコンタクトホモロジーの位相幾何学的性質の完全解明を目指している．本研究では，Xをトレースフリー指標多様体とよぶ．本研究2年目では，指標集合Xの計算効率を上げるために定義多項式の取り換えを行ったが，本研究3年目では，この取り換えにより，Xの定義多項式を与えるよりシンプルな証明を与えることができることがわかった．その証明について，現在，論文を執筆中である．Xの上記定義多項式の取り換えにより，計算効率は非常に向上している状況が計算機実験からも伺える．特に，本研究において導入した「幽霊指標」を有する結び目の例については，計算機実験により，いくつかの新しい成果があった．ここで，「結び目の幽霊指標」とは，Xの2重分岐被覆的構造において，「六角関係式」を満たさない（Xにリフトできない）Xの底空間Y上の点として定義される．前年度までの研究において，トーラス結び目のある無限族において，幽霊指標が存在することが，研究代表者とテキサス大学のA.T. Tran氏との結び目群間の全射準同型に関する共同研究を用いることでわかっていた．トーラス結び目に対するXでは，ある種の周期性が計算量を少なくしていたが，一般の結び目については計算が困難な状況であった．今年度はXの定義多項式の取り換えにより，周期性を持たない結び目についても計算効率が向上した．例えば，いくつかの双曲結び目において幽霊指標が存在することが計算機実験で分かった．これらの成果の関連する内容については，2023年3月に開催された研究集会でリモート講演を行った．