結び目・3次元多様体の量子不変量が反映する幾何的・大域的性質について

关于结和三维流形的量子不变量所反映的几何和全局性质

• 批准号: 05J08274
• 负责人: 長郷 文和
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05J08274/
• 关键词: character varieties; 結び目群; SL(2,C)表現; kauffman bracket skein module; metabelian表現; abelian knot contact homology; Kauffman bracket skein module; A-多項式; character variety; 結び目; 表現

今年度は,前年度後半の研究に引き続き,結び目群の指標多様体の構造研究を行った.この研究の鍵となるのは,指標多様体の断面S_0(K)である.S_0(K)とは,その名の通り,指標多様体をある特殊な超平面で切断したときに得られる切断面であり,指標多様体の部分代数多様体になっている.前年度の研究成果から,断面S_0(K)は,Z係数ホモロジー群abelian knot contact homology HC_*^<ab>(K)の0次部分HC_0^<ab>(K)と同型になることがわかっている.今年度前半の研究では,断面S_0(K)を用いることで,新たな視点から指標多様体を研究した.S_0(K)は,2重分岐被覆構造を持つことが簡単な考察により確かめられるが,その分岐点になるための必要十分条件が『既約metabelian表現の指標』であることが,東京大学COE研究員の山口祥司氏との共同研究で明らかになった.また,2重分岐被覆S_0(K)の底空間からは,結び目の2重分岐被覆群(=結び目で分岐する3次元球面の2重分岐被覆の基本群)の指標多様体への単射が存在することが同共同研究によってわかった.その系として『HC_0^<ab>(K)と結び目の2重分岐被覆群に対する指標多様体の関係』を示すL.Ng予想の(部分的)証明が得られることは,今年度における最大の研究成果である.今年度後半は,結び目の連結和に対する断面S_0(K)の構造変化について重点的に研究を行った.その結果,断面S_0(K)は,その0次元既約成分については,連結和について,加法的に構造を保つことがわかった.これは,Xiao-Song Lin氏によって導入された『Casson-Lin不変量』の視点からみると,結び目の符号数(signature)が,S_0(K)の0次元部分構造を捉えていると解釈でき,非常に興味深い結果である.

This year, the second half of the previous year's research was conducted. In this study, the cross section S_0 (K) of the index polyhedron is divided into two parts: S_0 (K), S_0 (K) and S_0 (K). The results of the previous year's research are as follows: Section S_0(K),Z coefficient, abelian knot contact homology HC_*^<ab>(K), 0-th order HC_0^<ab>(K), isotype. In the first half of this year, we studied the new viewpoint and index multiple-body in section S_0(K). We studied the new viewpoint and index multiple-body in section S_0 (K). We studied the structure of two-fold bifurcation covering structure in section S_0 (K). We studied the necessary condition of reduced metabelian performance index in section S_0 (K). The index multiplicity of the base space of the 2-fold bifurcation covering S_0(K) is studied in the same way. This <ab>paper shows that the relationship between HC_0^ (K) and the index manifold of the two-fold bifurcation group is the largest research result of this year. In the second half of this year, the structural transformation of section S_0(K) was studied. As a result, section S_0(K), 0-dimensional reduced component, link and, additive structure. Xiao-Song Lin's concept of "Casson-Lin invariant" is introduced, and the symbol number of the structure of the zero dimensional part of S_0 (K) is very interesting.

项目成果

Background of the existence of multi-variable link invariants

多变量链接不变量存在的背景

• 期刊: Kyungpook Mathematical Journal (印刷中)
• 作者: Fumikazu Nagasato;Kanau Hamai
• 通讯作者: Kanau Hamai

Topological aspects of the Chebyshev polynomials and the character varieties

切比雪夫多项式和特征簇的拓扑方面

• 发表时间: 2007
• 作者: Fumikazu Nagasato;Kanau Hamai;長郷 文和
• 通讯作者: 長郷 文和

Some results about the Kauffman bracket skein module of the twist knot exterior

关于扭结外部考夫曼支架绞纱模块的一些结果

• 发表时间: 2006
• 期刊: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 15・8
• 作者: Razvan Gelca;Fumikazu Nagasato
• 通讯作者: Fumikazu Nagasato

Finiteness of a section of the SL(2,C)-character variety of knot groups

SL(2,C) 字符簇结群的一段的有限性

• 发表时间: 2008
• 期刊: Kobe Journal of Mathematics 24
• 作者: Hattori;N.;Miyake;M.;Fumikazu Nagasato
• 通讯作者: Fumikazu Nagasato

Character varietyの断面から誘導される代数多様体族とknot contact homology

代数簇族和由性状簇截面导出的结接触同源性

• 发表时间: 2007
• 期刊: 第54回トポロジーシンポジウム講演集
• 作者: Hattori;N.;Miyake;M.;Fumikazu Nagasato;長郷 文和
• 通讯作者: 長郷 文和