A New Approach and Development to Singular Integrals in Noncommutative Harmonic Analysis - Fusion of Real Analysis and Representation Theory

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半単純リー群上の特異積分論に関し、アーベル変換を用いてユークリッド空間上の特異積分論に帰着させる方法を確立するのが本研究の目的である。ヤコビ解析のような1ランクの場合にはある程度結果を得ることができたが、高ランクの場合への拡張を試みている。具体的な計算に頼ることができず研究は困難を極めている。また1ランクの場合でも各種の特異積分のLp有界性を得る過程ではハーディ空間のアトム分解が必要となり、ユークリッド空間のアトムの類型を得ることに苦労している。このような状況な中で、ユークリッド空間のアトムをアーベル逆変換を用いてヤコビ ハイパー群上のアトムを定義したとき、アトムが分解されることに注目した。物理学のクウォーク分解に対応させて、アトムのクウォーク分解と名付けた。このようなクウォーク関数は一般に多数定義することができるが、その和がアトムになるにはモーメント０の条件が必要となる。物理学のクウォークが素粒子を形成するのは色無しの条件が必要なことと類似しており興味深い。またこのクウォーク関数の評価はそのサポートに依存し、ヤコビ ハイパー群が重みを持つ空間であることに対応している。このようなアトム分解より詳細なクウォーク分解を用いることにより、いくつかの特異積分の(H1,L1)有界性を導くことができた。高ランクの場合の研究は困難に直面し、停滞しているが、1ランクの場合に新たな発見が選られた。現在、論文を執筆中である。