表現論を用いたウェーブレット変換の拡張とその応用

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表現論とウエーブレット変換の関係は1985年にすでに知られたが、その後の展開は実用面に重点が置かれ、表現論との関わりはあまり研究されていない。本研究の第一段階として、文献等を収集し現状を把握することから始めた。その結果、北京大学のLiu氏が同様の関心のもとに研究を続けていることが分かり、連絡を取った。1995年のSL(n,R)における筆者の結果と同様の結論も独自に発表されていた。これらの結果はエルミート型対称空間への拡張を示唆させるが、本萌芽研究の目的は、この拡張を構成することであった。Liu氏も同様の拡張を試み、極限離散系列に対応するウエーブレット変換を得ている。筆者の場合は、更なる拡張として離散系列の解析接続に対応する変換の構成を試みた。Liu氏の方法論は95年の結果と同様に冪零群上の展開公式を用いるものだが、この方法では解析接続に対して適用しない。そこで筆者は、解析接続を構成する際に用いる対称空間上のフーリエ解析を駆使することにより、拡張を試みた。現段階では、解析接続されたパラメータ(Wallach集合)の中の連続部分に対して拡張が成功した。今後はその離散部分に対しても拡張を試みる予定である。またこの方法をとうして、群を拡大(複素化)し、その部分群の作用を考えることにより、より広いクラスの変換公式が構成可能であることが分かった。これらは許容ベクトルの構成方法によるが、Liu氏も独自の方法を進めており、今後も連絡を密にとり研究を続けたい。これらの変換の実用面はまだ研究途中であり、購入した数学ソフト“Mathematica"等を使い検証を行っている。