Geometric analysis and Morse theory for Dirac type equations

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2022年度は，ディラック・調和写像に対するモース・ボットホモロジーの構成とその応用，および，球面上のスピン山辺型方程式の解の存在問題を研究し成果を得た．ディラック・調和写像のモース・ボットホモロジーの構成とその応用に関しては，ディラック・調和写像に対する作用汎関数が円周の掛け算によるスピノル成分への自然な作用で不変な場合を考察した．この場合に作用汎関数のカスケード型勾配流からなるモジュライ空間を定義し，その解析を通してモース・ボット型のホモロジーを構成し，具体的な計算を実行した．ホモロジーの構成とその計算結果の応用として，摂動項が優２次，漸近２次のそれぞれの場合に，ディラック・調和写像の円周作用による解軌道の個数の下限の評価を，トーラスの次元を用いて与えた．モースホモロジーに基づく2021年度までの研究で得ていた存在理論では，優２次の場合の解の存在に関しては何も主張することができなかったが，2022年度のボット型の臨界点を持つ場合へのモースホモロジーの拡張により，このような場合にも有意義な解の存在定理を得ることができたことは応用上重要であると考える．スピン山辺型方程式に関しては，標準計量をもつ球面上のスピン山辺方程式の様々な摂動が，解空間の構造にどのように影響を与えるかを考察した．摂動として考察したのは，球面のユークリッド空間へのはめ込みの平均曲率関数1の摂動として与えられる関数，および，球面の標準計量の摂動の２種類である．前者の摂動に関しては，摂動項が一般的な場合には，解の個数の下限は球面の次元の指数関数により与えられることを示した．後者の場合は適当な計量の摂動のクラスに対して，Bar-Hijazi-Lott不変量を達成する解が存在することを証明した．ここで構成した解は，多様体の計量が共形平坦でない場合にBar-Hijiazi-Lott不変量が達成される最初の例を与える．