分散性を持つ非線形波動における共鳴相互作用の役割の究明

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本研究課題では，非線形分散型偏微分方程式のうち非線形性の影響により分散型とは異なる性質が発現するようなモデルを研究している．前年度までの非局所・微分型非線形項を持つ3次非線形シュレディンガー方程式（以下KDNLS）についての研究を継続して行い，本年度は新たに以下の成果を得た（いずれも堤誉志雄氏（京都大学）との共同研究）．１．周期境界条件を課した初期値問題の可解性については，前年度までに初期値の小ささを仮定せず時間大域解を構成することに成功していたが，連続関数でないような正則性の低い初期値を考えた場合，自明解のまわりでの初期値に対する連続依存性が未解決であった．本年度はこれを厳密に証明し，初期値問題の適切性（解の一意存在および初期値連続依存性）についての結果を完全なものとした．２．数直線上の初期値問題に関しては，十分に滑らかな初期値に対する時間局所的な適切性が知られているのみであり，特に時間大域解の構成が求められていた．本年度はその第一歩として初期値の滑らかさの仮定を弱め，1階連続微分可能でない関数を含むようなクラスでの時間局所適切性を示すことに成功した．証明はいずれも短時間フーリエ制限法と呼ばれる手法による．これは非線形項の共鳴構造を利用するフーリエ制限法と対称性を利用するエネルギー評価とを組み合わせたもので，微分の損失を含む非線形分散型方程式に対し有効な手法であるが，KDNLSのように散逸性を持ったモデルでは対称性が損なわれるためエネルギー評価が難しくなる．本研究では方程式の散逸構造を利用できるようにエネルギー汎関数の補正項を上手く選ぶことでこの困難を克服しており，他の散逸を含む分散型モデルに対しても同様の方法が応用できると期待される．また，この方法は非局所項の係数について一様な評価が得られるため，非局所項の消滅極限問題にも有効であると考えられる．