フーリエ制限法による非線形分散型偏微分方程式の適切性の解明

使用傅里叶限制法阐明非线性分布偏微分方程的适当性

• 批准号: 08J02196
• 负责人: 岸本 展
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J02196/
• 关键词: ザハロフ方程式; 初期値問題の適切性; 周期境界条件; ソボレフ空間; フーリエ制限ノルム; I-メソッド; 非線形シュレディンガー方程式; KdV方程式; フーリエ制限法

今年度の研究では,ザハロフ方程式の周期境界条件下での初期値問題の適切性について著しい進展があった.ザハロフ方程式はプラズマ物理におけるラングミュア乱流のモデルとされ物理的にも重要な非線形分散型方程式の一つである.空間領域をユークリッド空間とした(周期境界条件を課さない)場合にはザハロフ方程式の適切性は非常によく研究されているが,周期境界条件を扱った結果は過去に空間1次元でしか知られていなかった.本研究では空間2次元以上の場合に,初期値をソボレフ空間にとり,フーリエ制限ノルムによる時間局所適切性の証明を与えた.特に2次元の場合にはエネルギー空間における適切性を示し,また得られた結果が逐次近似法を用いる限り最良であることもわかった.1次元では未知関数の周期が適切性の成り立つソボレフ指数に影響を与えることが知られていたが,2次元では周期による結果の差異がなくなるという興味深い事実も判明した.これは角度成分の存在による非線形相互作用の複雑化が原因であり,本研究の核心部分である非線形相互作用の精密な解析を行うことで初めて示されるものである.また,周期境界条件下ではユークリッド空間の場合に比べて平滑化効果が弱く,逐次近似項の適切な評価式を得ることが格段に困難となるが,方程式の幾何的性質を最大限に活用することによってそれを克服した.これらの結果は台湾の国立成功大学で開催された国際会議等で発表した.さらに,2次元の場合にI□メソッドを適用し,エネルギー空間より広いクラスでの小さい初期値に対する時間大域適切性も示した.2次元ユークリッド空間の場合には同様の結果が知られていたが,本研究ではI□メソッドにおいて中心的な役割を果たす「殆ど保存する修正エネルギー」の構成過程を見直すことでその結果を改善し,周期境界条件下の場合にも時間局所適切性のための評価式をうまく適用して同様の大域適切性を得た.

今年的研究在Zakharov方程的周期性边界条件下的初始价值问题的适当性取得了重大进展。 Zakharov方程是物理上重要的非线性分散方程之一，它被认为是血浆物理学中Langmuir湍流的模型。 Zakharov方程的适当性已经进行了很好的研究，但是处理周期性边界条件的结果仅在过去的空间一维中才知道。在这项研究中，当初始值在Sobolev空间或以上时，初始值将在Sobolev空间中获取，并且时间局部适当性的证明由傅立叶极限规范给出。特别是，在二维的情况下，它显示了能量空间中的适当性，并且还发现，只要使用连续的近似方法，获得的结果就是最好的。众所周知，在一个维度上，未知功能的时期会影响建立适当性的Sobolev指数，但在两个维度上，有趣的是，消除了由于周期所产生的结果差异。这是由于非线性相互作用的复杂性，这是由于角度的存在，仅通过对非线性相互作用的精确分析而显示，这是本研究的核心部分。此外，在周期性的边界条件下，平滑效应比欧几里得空间弱，因此很难获得连续近似项的适当评估公式，但这是通过充分利用等式的几何特性来克服的。这些结果是在台湾国家厨师大学举行的国际会议上提出的。此外，在2D情况下应用了I□方法，以及比能量空间更宽的小初始值的全局适当性。在二维欧几里得空间的情况下，已经知道了相似的结果，但是在这项研究中，通过审查“几乎保守的修改能量”的本构过程在I□方法中起着核心作用，从而改善了结果，并且通过在定期边界范围内成功地应用时间局部评估来实现相同的全局适当性。

项目成果

Local well-posedness for the Cauchy problem of the quadratic Schrodinger equation with nonlinearity u^2

非线性 u^2 二次薛定谔方程柯西问题的局部适定性

• 发表时间: 2008
• 期刊: Communications on Pure and Applied Analysis Vol. 7 no. 5
• 作者: Nobu Kishimoto;Kotaro Tsugawa;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto
• 通讯作者: Nobu Kishimoto

実数直線上のKdV, modified KdV方程式の初期値問題の適切性

实数线上的KdV，修正KdV方程初值问题的适当性

• 发表时间: 2008
• 作者: Nobu Kishimoto;Kotaro Tsugawa;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展;岸本展;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

Well-posedness of the Cauchy problem for the KdV equation at the critical regularity

临界正则处 KdV 方程柯西问题的适定性

• 发表时间: 2009
• 作者: Nobu Kishimoto;Kotaro Tsugawa;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

実数直線上のKdV方程式の初期値問題の適切性

实数轴上KdV方程初值问题的适宜性

• 发表时间: 2008
• 作者: Nobu Kishimoto;Kotaro Tsugawa;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展;岸本展;岸本展;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

Counterexamples to bilinear estimates for the KdV equation in Besov-type Bourgain spaces

Besov 型 Bourgain 空间中 KdV 方程双线性估计的反例

• 发表时间: 2009
• 作者: Nobu Kishimoto;Kotaro Tsugawa;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展;岸本展
• 通讯作者: 岸本展