周期境界条件下における非線形分散型偏微分方程式の初期値問題の適切性

周期性边界条件下非线性分布偏微分方程初值问题的适用性

• 批准号: 23840022
• 负责人: 岸本 展
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011-08-24 至 2013-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-23840022/
• 关键词: 非線形Schrodinger方程式; Zakharov方程式; 初期値問題の適切性; 周期境界条件; 解の爆発; I-メソッド

本研究の目的は,分散型と呼ばれるクラスの非線形偏微分方程式の初期値問題の局所および大域適切性を,広いクラスの(正則性の低い)初期値に対して解明することであり,特に周期境界条件下での(即ちトーラス上の)初期値問題を扱うこととしている.平成23年度は主として以下の3つの成果があり,いずれも論文を投稿中である.1.非線形Schrodinger方程式と非線形波動方程式からなるZakharov方程式系について,エネルギー空間において2次元・周期境界条件下での初期値問題を考察し,初期値の大きさが対応する非線形Schrodinger方程式の基底状態解の大きさ以下であれば初期値問題は時間大域的に適切,またそれより少しでも大きいと解は一般に時間大域的でない(有限時間で爆発(エネルギーノルムが発散)する解が存在する)ことを示した(前田昌也氏(東北大学)との共同研究).これにより,初期値に周期境界条件を課さない場合には十数年前から知られていた事実が周期境界条件下でも同様に成立することが確かめられた.2.1と同様の初期値問題で,エネルギー空間に含まれない広いクラスの初期値に対して時間大域適切性を得た.証明の手法として交付申請書に記載したI-メソッドに加え,波数間の共鳴現象の解析に基づいた修正エネルギー汎関数の構成を行い,先行結果を大幅に改善することに成功した.3.冪乗型の非線形項を持つ非線形Schrodinger方程式(空間1次元で5次の非線形項,および2次元で3次の非線形項)の周期境界条件下での初期値問題について,尺度変換で不変な臨界正則性の空間に属する初期値に対しては,初期値と解との対応が十分小さな初期値を考えたとしても滑らかになり得ないことを示した.これは周期境界条件のない場合と比較したこの問題の本質的な困難さを表しており,適切性の解明にむけての重要な示唆を与えるものである.

The purpose of this study is to investigate the initial value problem of nonlinear partial differential equations of decentralized type under periodic boundary conditions. 1. Non-linear Schrodinger equation and non-linear ratio equation; Zakharov equation system; 2-dimensional periodic boundary conditions; initial value problems; The solution of the base state of the nonlinear Schrodinger equation for the initial value problem is suitable for the time domain, and the solution of the initial value problem is suitable for the general time domain (finite time explosion)(joint research by Masaya Maeda (Tohoku University)). 2.1 The initial problem of equivalence is solved in space, including initial value, and in time domain. The method of proof is described in the application form. The analysis of resonance phenomenon between wave numbers, the correction of the fundamental number, the construction of the general correlation number, the improvement of the first result, the success of the application. 3. The nonlinear term of the power type is maintained in the nonlinear Schrodinger equation. The initial value problem under the periodic boundary condition of the space (the first dimensional non-linear term of the fifth order, the second dimensional non-linear term of the third order) is discussed. The scale change does not change the critical regularity of the space. The initial value problem is discussed. The initial value problem is very small. The difficulty of the nature of the problem is expressed in terms of the periodicity of the boundary conditions and the importance of the solution.

项目成果

Blow-up solution for the Zakharov system on 2D torus

2D 环面上 Zakharov 系统的爆炸解决方案

• 发表时间: 2011
• 作者: D.Bump;M.Nakasuji;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;岸本展;Maki Nakasuji;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

Well-posedness and finite-time blowup for the Zakharov system on two-dimensional torus

二维环面上 Zakharov 系统的适定性和有限时间爆炸

• 发表时间: 2012
• 作者: D.Bump;M.Nakasuji;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;岸本展;Maki Nakasuji;Nobu Kishimoto
• 通讯作者: Nobu Kishimoto

Remark on the L2-critical nonlinear Schrodinger equation on torus

关于环面上 L2 临界非线性薛定谔方程的评论

• 发表时间: 2012
• 作者: D.Bump;M.Nakasuji;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

Blow-up solution for the Zakharov system on two-dimensional torus

二维圆环上 Zakharov 系统的爆炸解

• 发表时间: 2012
• 作者: D.Bump;M.Nakasuji;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;岸本展;Maki Nakasuji;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展
• 通讯作者: 岸本展

Global well-posedness for the 2D Zakharov system

二维 Zakharov 系统的全局适定性

• 发表时间: 2011
• 作者: D.Bump;M.Nakasuji;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;中筋麻貴;岸本展;Maki Nakasuji;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;Nobu Kishimoto;岸本展;岸本展;岸本展;岸本展
• 通讯作者: 岸本展