コロンボの理論を用いた不連続な係数を持つ波動方程式に対する初期値問題の研究

基于科伦坡理论的不连续系数波动方程初值问题研究

• 批准号: 20K03694
• 负责人: 出口 英生
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: University of Toyama
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03694/
• 关键词: コロンボの一般関数の空間; 単独保存則方程式; 一般関数解; 存在性; 一意性; 正則性; 特異性の伝播; コロンボの一般関数; バーガース方程式; 非線形波動方程式; コロンボの一般関数の理論; 波動方程式; 不連続な係数

超関数の理論は、線形位相空間の理論に基づいた本質的に線形な概念である。この理論は偏微分方程式の研究に多大な貢献をもたらしたが、滑らかな係数を持つ線形偏微分方程式の研究に対してさえ、十分でない。さらに、最近の偏微分方程式の研究は、特異性のある係数や初期値を持つ線形偏微分方程式だけでなく非線形偏微分方程式へと重点が移行してきている。このような方程式の研究に超関数を用いるためには、超関数の積をはじめとした非線形な作用に関する理論が必要となる。そのような方向の一つとして、コロンボによって導入された一般関数の理論が注目されている。コロンボの一般関数の空間は、超関数の空間を含む微分多元環であり、部分多元環として滑らかな関数の空間を含む。さらに、この空間は、積だけでなく一般の非線形作用に関しても閉じているので、特異性のある係数や初期値を持つ線形又は非線形偏微分方程式の解を研究するのに、非常に重要で便利な空間である。本年度は、コロンボの一般関数の理論を用いて、粘性を伴う単独保存則方程式に対する初期値問題を扱った。まず、コロンボの一般関数の空間の適当な部分空間において初期値問題を考え、一般関数解の存在性と一意性を証明した。次に、一般関数解の正則性、特異性の伝播を研究した。初期値が有界かつ可積分関数の場合や、デルタ関数のような強い特異性を持つ関数の場合などを考察し、一般関数解の特異台がどのような集合になるかを詳しく調べた。

高功能理论是基于线性拓扑空间理论的本质上是线性概念。该理论为研究部分微分方程的研究做出了重要贡献，但即使对于使用平滑系数的线性偏微分方程的研究也不够。此外，对部分微分方程的最新研究不仅将其重点转移到了具有特异性系数和初始值的线性偏微分方程上，而且也转移了非线性部分偏微分方程。为了在此类方程式中使用高功能，需要有关非线性效应的理论，例如超功能的产物。一个这样的方向是科伦坡引入的一般函数理论。科伦坡中的一般函数的空间是一个差分多环，包含一个超功能的空间，并包含平滑函数的空间，作为部分多环。此外，由于该空间不仅针对产品，而且针对一般的非线性效应都关闭，因此它是研究具有特异性系数和初始值的线性或非线性偏微分方程的解决方案的非常重要且方便的空间。今年，我们使用科伦坡的一般函数理论来解决具有粘度的单个保护定律方程的初始价值问题。首先，我们考虑了科伦坡一般函数空间的适当子空间中的初始值问题，并证明了一般函数解决方案的存在和唯一性。接下来，我们研究了一般功能解决方案的规律性和奇异性的传播。我们检查了初始值是有界和可集成函数的情况，以及具有强大奇异性（例如Delta函数）的函数，并详细研究了一组通用函数解决方案的奇异函数集。

项目成果

インスブルック大学(オーストリア)

因斯布鲁克大学（奥地利）

Regular generalized solutions to semilinear wave equations

半线性波动方程的正则广义解

• DOI: 10.1007/s00605-020-01470-z
• 发表时间: 2020
• 期刊: Monatshefte fuer Mathematik
• 作者: Deguchi Hideo;Oberguggenberger Michael
• 通讯作者: Oberguggenberger Michael

Propagation of singularities for generalized solutions to nonlinear wave equations

非线性波动方程广义解的奇点传播

• DOI: 10.1007/s11784-020-00802-8
• 发表时间: 2020
• 期刊: Journal of Fixed Point Theory and Applications
• 影响因子: 1.8
• 作者: Deguchi Hideo;Oberguggenberger Michael
• 通讯作者: Oberguggenberger Michael