コロンボの理論を用いた不連続な係数を持つ波動方程式に対する初期値問題の研究

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超関数の理論は、線形位相空間の理論に基づいた本質的に線形な概念である。この理論は偏微分方程式の研究に多大な貢献をもたらしたが、滑らかな係数を持つ線形偏微分方程式の研究に対してさえ、十分でない。さらに、最近の偏微分方程式の研究は、特異性のある係数や初期値を持つ線形偏微分方程式だけでなく非線形偏微分方程式へと重点が移行してきている。このような方程式の研究に超関数を用いるためには、超関数の積をはじめとした非線形な作用に関する理論が必要となる。そのような方向の一つとして、コロンボによって導入された一般関数の理論が注目されている。コロンボの一般関数の空間は、超関数の空間を含む微分多元環であり、部分多元環として滑らかな関数の空間を含む。さらに、この空間は、積だけでなく一般の非線形作用に関しても閉じているので、特異性のある係数や初期値を持つ線形又は非線形偏微分方程式の解を研究するのに、非常に重要で便利な空間である。本年度は、コロンボの一般関数の理論を用いて、粘性を伴う単独保存則方程式に対する初期値問題を扱った。まず、コロンボの一般関数の空間の適当な部分空間において初期値問題を考え、一般関数解の存在性と一意性を証明した。次に、一般関数解の正則性、特異性の伝播を研究した。初期値が有界かつ可積分関数の場合や、デルタ関数のような強い特異性を持つ関数の場合などを考察し、一般関数解の特異台がどのような集合になるかを詳しく調べた。