Research on variational problems for the functionals with variable exponents

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2021度に引き続き，double phaseタイプと呼ばれるタイプで，変動する指数を持つタイプの汎関数の最小点を与える写像の正則性に関して研究を進めている．具体的には，(|Du|のp(x)乘）＋a(x)|Du|のq（x）乘もしくは(|Du|のp(x)乘）＋a(x)(|Du|のp(x)乘)log(1+|Du|)の積分で与えられるタイプの汎関数を扱っている．ここで，Duはm-次元ユークリッド空間の有界領域Ω上で定義されｎ次元ユークリッド空間に値を持つ未知関数uの微分，p(x), q(x), a(x)はいずれもΩ上で定義された連続関数で，q(x)は各点でp(x)以上，p(x)は１より真に大きく，a(x)は０以上の値を取る関数とする．以下，前者をp(x)-q(x)タイプ，後者をp(x)-p(x)logタイプと呼ぶ．どちらのタイプも，a(x)=0となる集合の境界上で，いわゆるgrowth orderが不連続的に変わることが正則性の問題を困難にしている．2020年度よりCatania大・Ragusa教授との共同研究でp(x)-p(x)logタイプの汎関数の最小値を与える写像の正則性を研究していたが，未知関数の微分Duのヘルダー連続性まで得ることができた．これは通常期待される最善の結果とみなすことができ，この研究はほぼ完成したと言ってよく，現在論文にまとめている．一方，p(x)-q(x)タイプの汎関数について, |Du|をx,uに依存する係数行列によるDuの２次形式A(x,u)DuDu（Aは Ω×（n-次元ユークリッド空間）上で定義された対象なテンソル場で一様楕円性条件を満たすものとする）の平方根で置き換えたタイプの汎関数を研究し，部分正則性に関する結果を得ることができた．これはすでに論文としてまとめ，現在投稿中である．