時間離散化スキームと変分法を用いた双曲型微分方程式の研究

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立川は変分法と時間離散化スキームを組み合わせた方法(離散的勾配流の方法)によって、双曲型偏微分方程式(∂^2u)/(∂t^2)=(F(u)のEuler-Lagrange方程式)(但し、Fは変分汎関数)の解の構成及びその漸近挙動について研究している。平成7年度の研究成果としては、東北大学長澤壯之氏と共同で強ダンピング項を持った非線形双曲型偏微分方程式系の弱解を構成し、その弱解が指数減衰することを示した。(T.Nagasawa and A.Tachikawa:Existence and asymptotic behavior of weak solutions to strongly damped semilinear hyperbolic systems.Hokkaido Math.J.,24(1995)387-405.)また、現在は膨張する領域上での双曲型及び放物型偏微分方程式系の弱解の構成にも結果を得たが、これらについての論文はまだ投稿準備中である。菊地は主として、1.ヴァリフォルド理論の微分方程式への応用、2.変分問題と関係のある双曲型自由境界問題、3.擬微分作用素の確率論への応用、の3つのテーマについて研究を行なった。3のテーマについては根来と共同で一定の条件の下で強楕円型擬微分作用素がマルコフ過程を生成する事を証明した。2のテーマについては金沢大学小俣正朗氏と共同で空間1次元の場合に局所解の存在を証明した。1のテーマについては離散的勾配流の方法で近似した解が弱解に収束するかという問題に対しヴァリフォルド理論を用いて一定の成果を得ている。根来は菊地と共同で上記のような研究を行った。