多重線形調和解析における有界性定理の研究

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調和解析(実解析)の分野では，2000年頃から線形の理論を多重線形の理論へと拡張する話題がメインテーマの1つとして活発に研究され，現在ではこの種の話題を多重線形調和解析と呼ぶことが多い．多重線形調和解析は，単なる線形理論の一般化などではなく，調和解析の問題として眺めても非常にチャレンジングであるし，また応用面から眺めても偏微分方程式論の発展の可能性を大いに秘めている．本研究では正則性の観点から多重線形フーリエ乗法作用素および多重線形擬微分作用素に代表される多重線形作用素に対する有界性定理の精密化を目標に，特に L^2 の特別な構造をとらえた研究を目指している．これまでの研究では，主に双線形フーリエ乗法作用素や双線形擬微分作用素を扱ってきたが，2021年度からこれらを含む双線形フーリエ積分作用素の研究を開始した．双線形の枠組みでのフーリエ積分作用素の解析は非常に難しく，まだまだ研究すべき題材がある．2022年度は，加藤睦也氏(群馬大学)，宮地晶彦氏(東京女子大学)と共に，フーリエ積分作用素の典型例である波動作用素を双線形の枠組みで研究した．そして，波動作用素の場合には，Rodriguez-Lopez, Rule, Staubach (2014) が与えた結果を改良できる可能性を見出した．2023年度も引き続き，この方向での研究を推し進める予定である．また，多重線形調和解析の偏微分方程式への応用ついて，2022年度に引き続き2023年度も模索していきたい．