時間周波数解析と調和解析

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調和解析的な手法を用いて,時間周波数解析の中で基本的な役割を果たすモジュレーション空間を研究してきた.モジュレーション空間は,J.Sjostrandが擬微分作用素のシンボルクラスとして用いた後に注目が集まっている.また最近,モジュレーション空間上でのシュレディンガー作用素の有界性が示され,モジュレーション空間の偏微分方程式への応用に関心が集まっている.平成20年度は,私は東京女子大学の宮地晶彦教授と共に,シュレディンガー作用素を一般化した作用素のモジュレーション空間上での有界性を研究した.αが2以下の場合に作用素e^{i|D|^{α}}がモジュレーション空間上で有界になることが知られていた.これに対し我々は,αが2を超えてしまうと通常のモジュレーション空間上では有界性が成り立たないことを示し,有界性を保証するには適切な重みが必要であることを示した.αが2を超えた場合は未解決の問題であったため,我々の研究は有意義であると思われる.また名古屋大学の杉本充教授と共に,平成18年度より続いているモジュレーション空間の擬微分作用素への応用を平成20年度も引き続き研究した.平成20年度にJournal d'Analyse Mathematiqueにacceptされた論文では,これまではモジュレーション空間とベゾフ空間にシンボルを持つ擬微分作用素のトレース性の結果が独立に扱われていたが,α-モジュレーション空間を用いることにより統一的に扱うことができることを示した.平成20年度は,α-モジュレーション空間にシンボルを持つ擬微分作用素のL^p-有界性も研究し,SjostrandのL^2-有界性の結果を一般化したL^p-有界性の結果が得られた.