グラフの距離拡張性を用いた因子問題の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

3-連結3-正則平面グラフで全ての面の大きさが5もしくは6であるものはフラーレングラフと呼ばれる。フラーレングラフはフラーレン分子の数理モデルであり、理論面・応用面の双方において重要な研究対象である。特に、フラーレングラフにおける完全マッチング(1-因子)はフラーレンにおけるケクレ構造に相当するため、特に注目されて研究が行われている。Gをフラーレングラフとし、MをGにおける完全マッチングとする。Gの六角形でMの辺をちょうど3本含むものはM-交互的と呼ばれる。また、Gの点素な六角形の集合Hで、いずれもM-交互的となるような完全マッチングMが存在するとき、Hはresonantパターンであると呼ばれる。Yeら(2009)は任意のフラーレングラフにおいて、1つの六角形から成るHはresonantパターンとなることを示し、またKaiserら(2011)はIPRと呼ばれるフラーレングラフにおいて2つの六角形から成るHはresonantパターンとなることを示した。一方、頂点数が60より大きいフラーレングラフはresonantパターンとならないような3つの六角形を持つことをYeら(2009)が示しているため、既存のresonantパターンの研究は上記のように|H|が小さいものに関してのみ行われていた。本年度の研究では、任意の整数kに対し、頂点数が十分大きいフラーレングラフにおいては点素なk個の六角形の集合Hのほとんど全てがresonantパターンとなることが明らかになった。特に、resonantパターンとなるHの族が構成的に得られており、これまで研究がなされてこなかった多数の六角形から成るresonantパターンについての具体的な知見を得ることができた。