ランダムネスを用いた非線型偏微分方程式の陰的数値解法の開発と数学モデルへの展開

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2021年度まで得られた研究成果（陰解法における比較的大きいランダムネス付加による時空カオスの出現の抑制と幻影解の出現の促進）をもとに，2022年度はGray-Scott方程式を陰解法で解いた場合の時間刻みが小さい場合に生じる不安定性と付加するランダムネスによる効果の類似性について考察を行った．陰解法においては，陽解法とは逆に時間刻みを小さくすると数値的な安定化が付加されないために系を不安定化する．2021年度の研究で明らかにした，極度に大きいランダムネスの付加によりパターンダイナミックスサイクルを外れた別パターンへの遷移が，時間刻みが小さい場合には微小なランダムネスの付加によっても生じることが明らかになった．このような小さい時間刻みが遷移過程の出現に敏感に影響する一方で，時間刻みを大きくすれば当然流入する数値誤差による非物理的な安定化による幻影解の出現が生じる．これらのことから，数値誤差の影響をうまく操作することが信頼性の高い陰解法スキームを構築する上で重要であることが明らかになった．一方，異なる初期条件から(平衡点に漸近する場合ではなく)完全に一致する非定常的な状態に漸近するという特異的な構造が，遷移したパターンの場合だけに限らず時空カオスパターンにおいても見られることが2021年度の研究で明らかになったことから，2022年度はこの特異構造について，FitzHugh-Nagumo方程式のストライプ型の解が安定であるパラメータ領域に対して検証した．その結果，特異構造が出現する場合の解パターンは概ねランダムネス優位の構造であり，特異構造が見られない場合には物理的な解パターン優位であるという非常に興味深い結果を得た.以上の研究成果については，日本応用数理学会年会および環瀬戸内応用数理研究部会第26回シンポジウムにおいて口頭発表を行った.