分布型の時間遅れをもつ微分方程式の周期解と非線形現象への応用

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本研究では、分布型の時間遅れをもつ微分方程式の周期解について研究を行っている。時間遅れをもつ微分方程式の定性的な性質は、古くから研究されてきたが、 時間遅れと方程式の非線形性によって現れるダイナミクスについては未解明な点が多く残っている。本研究では、申請者の先行研究より発見された、ヤコビの楕円関数を用いて明示的に表される周期解をもつ分布型の時間遅れをもつ遅延微分方程式の例をきっかけとして、 あるクラスの遅延微分方程式の周期解の存在性や安定性について研究している。申請者は、非線形関数が適当な奇関数で与えられる場合、分布型の時間遅れ微分方程式の対称的な周期解が、あるハミルトン系常微分方程式によって与えられることを示している。また適当な変数変換によって、周期解の族を構成出来ることを調べている。本研究結果を、現在論文として纏めている。さらに、本研究を、積分核が対称性をもつ関数で与えられる状況へと拡張している。以上の研究結果 を国内・国外の研究集会やセミナーで発表している。また、申請者は、共同研究者のGabriella Vas氏(ハンガリー)と、階段関数による非線形性をもつ分布型の時間遅れ微分方程式の解析を行っている。この方程 式に対しては、容易ではないが、解を逐次的に計算することが可能である。この研究から、周期解の安定性をはじめとして、分布型の時間遅れをもつ微分方程式 のダイナミクスについて示唆を得ている。 あるクラスの時間遅れをもつ微分方程式は、ハミルトン系常微分方程式と関連しているが、その関係性の全貌はまだ 明らかになっていないと考えられる。本研究によって、その関係性を詳しく調べ、あるクラスの時間遅れをもつ微分方程式の周期解について知見を得る。