D-臨界的双有理幾何学の確立とDonaldson-Thomas不変量の圏論化

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今年度は３次元アファイン空間上の点のヒルベルトスキームに付随する圏論的DT理論の研究をコロンビア大学のTudor Padurariu氏と共同で行った。３次元の点のヒルベルトスキームに付随する通常のDT不変量の生成関数は３次元ヤング図形の数え上げの母関数であるMacMahon関数で記述できることが知られていたが、このMacMahon関数を圏論化するDT圏の準直交分解の存在は以前から興味を持っていた。昨年度の研究でresolved conifoldの場合のPT圏の準直交分解を示したが、同様の手法を適用することでこの場合にも適用できるのではないかと考えていた。しかしヒルベルトスキームの場合にはトーラス重みに関する組み合わせ論的議論が非常に複雑になり、どの様な準直交になるか見当がついていなかった。Padurariu氏との共同研究でこの組み合わせ論的に煩雑な部分を明らかにし、MacMahon関数を圏論化する準直交分解を得た。準直行分解の成分は、我々が擬BPS圏と呼ぶものから成り立っており、この擬BPS圏はそれ自体興味深い研究対象であることも判明した。我々は擬BPS圏が対称群の群作用による商スタックのZ/2-次数の導来圏と同値になると予想し、実際にその予想をトーラス同変K群と位相的K群のレベルで正しいことを示した。これは３次元の場合の点のヒルベルトスキームに対するMcKay対応の類似とも解釈できる興味深い現象であり、更なる発展が期待される。上述の研究の手法を更に深化、発展させることで、局所代数曲面上の被約曲線類に対する圏論的DT/PT対応を証明した。これもPadurariu氏との共同研究である。通常の数値的DT/PT対応は１０年以上前に私やBridgelandによって証明された公式であり、この公式の圏論化はかねてからの課題であった。圏論的DT理論が大きく進展した証とも言える。