D-臨界的双有理幾何学の確立とDonaldson-Thomas不変量の圏論化

D临界双有理几何和Donaldson-Thomas不变量范畴论的建立

• 批准号: 19H01779
• 负责人: 戸田 幸伸
• 金额: $ 11.07万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01779/
• 关键词: Donaldson-Thomas不変量; 連接層の導来圏; 導来代数幾何学; 行列因子化; 導来圏; D-臨界的スキーム; 導来スタック

今年度は３次元アファイン空間上の点のヒルベルトスキームに付随する圏論的DT理論の研究をコロンビア大学のTudor Padurariu氏と共同で行った。３次元の点のヒルベルトスキームに付随する通常のDT不変量の生成関数は３次元ヤング図形の数え上げの母関数であるMacMahon関数で記述できることが知られていたが、このMacMahon関数を圏論化するDT圏の準直交分解の存在は以前から興味を持っていた。昨年度の研究でresolved conifoldの場合のPT圏の準直交分解を示したが、同様の手法を適用することでこの場合にも適用できるのではないかと考えていた。しかしヒルベルトスキームの場合にはトーラス重みに関する組み合わせ論的議論が非常に複雑になり、どの様な準直交になるか見当がついていなかった。Padurariu氏との共同研究でこの組み合わせ論的に煩雑な部分を明らかにし、MacMahon関数を圏論化する準直交分解を得た。準直行分解の成分は、我々が擬BPS圏と呼ぶものから成り立っており、この擬BPS圏はそれ自体興味深い研究対象であることも判明した。我々は擬BPS圏が対称群の群作用による商スタックのZ/2-次数の導来圏と同値になると予想し、実際にその予想をトーラス同変K群と位相的K群のレベルで正しいことを示した。これは３次元の場合の点のヒルベルトスキームに対するMcKay対応の類似とも解釈できる興味深い現象であり、更なる発展が期待される。上述の研究の手法を更に深化、発展させることで、局所代数曲面上の被約曲線類に対する圏論的DT/PT対応を証明した。これもPadurariu氏との共同研究である。通常の数値的DT/PT対応は１０年以上前に私やBridgelandによって証明された公式であり、この公式の圏論化はかねてからの課題であった。圏論的DT理論が大きく進展した証とも言える。

今年，我们与哥伦比亚大学的Tudor Padurariu合作研究了三维仿射空间中希尔伯特（Hilbert of Hilbert）方案的宗派DT理论。众所周知，可以使用MacMahon函数（计算三维年轻人物的源函数）编写与Hilbert方案相关的正常DT不变式的生成功能，但是存在于DT领域的准正交分解的存在，使Macmahon函数成为某些时间的兴趣。去年的研究表明，在解决方案的情况下，PT区域的准正交分解，但我认为应用类似方法也可以应用于这种情况。但是，在希尔伯特计划的情况下，关于圆环重量的组合讨论变得非常复杂，也不知道什么样的准正交性。在与Padurariu的联合研究中，我们阐明了这种复杂的组合，并获得了准正交分解，将Macmahon函数转化为类别理论。半方向分解的组成部分包括我们所谓的伪BPS球体，这本身本身就是一个有趣的研究主题。我们预测，由于对称组的群体作用，伪杆球将等于商堆栈的z/2级派生球，并表明这些预测实际上是正确的，在圆环k和拓扑k基团的水平上是正确的。这是一个有趣的现象，可以将其解释为与三维情况下与希尔伯特点方案的麦凯对应关系的相似性，并且预计会进一步发展。通过进一步加深和开发上述研究方法，我们证明了局部代数表面上截止曲线的球体学术DT/PT对应关系。这也是Padurariu的联合研究项目。通常的数值DT/PT响应是十年前我和Bridgeland证明的一种公式，该公式的领域是期待已久的挑战。可以说是证明类别理论DT理论的进步显着的。

项目成果

Categorical wall-crossing formula of Donaldson-Thomas theory and applications

唐纳森-托马斯理论的分类穿墙公式及其应用

• 发表时间: 2022
• 作者: Shigeyuki Morita;Takuya Sakasai and Masaaki Suzuki;Kasuya Hisashi;馬書悦・金沢創・山口真美;Yukinobu Toda
• 通讯作者: Yukinobu Toda

Moduli of Bridgeland semistable objects on 3-folds and Donaldson-Thomas invariants

三重和 Donaldson-Thomas 不变量上的 Bridgeland 半稳定对象的模

• DOI: 10.1515/crelle-2016-0006
• 发表时间: 2019
• 期刊: J. Reine Angew. Math.
• 作者: 水飼秋菜;豊嶋厚史;金谷佑亮;大江一弘;佐藤大輔;村上昌史;小森有希子;羽場宏光;浅井雅人;塚田和明;佐藤哲也;永目諭一郎;Shin-ichiro Shima;Dulip Piyaratne and Yukinobu Toda
• 通讯作者: Dulip Piyaratne and Yukinobu Toda

Derived categories of Thaddeus pair moduli spaces via d-critical flips

• DOI: 10.1016/j.aim.2021.107965
• 发表时间: 2019-04
• 期刊: arXiv: Algebraic Geometry
• 作者: Naoki Koseki;Yukinobu Toda

Categorical wall-crossing formula for Donaldson-Thomas theory on the resolved conifold

解析圆锥折上唐纳森-托马斯理论的分类穿墙公式

• 发表时间: 2021
• 作者: Li;L.;Ito;S.;& Yotsumoto;Y.;Yukinobu Toda
• 通讯作者: Yukinobu Toda

Hall algebras in the derived category and higher rank DT invariants

派生范畴中的霍尔代数和更高阶的 DT 不变量

• DOI: 10.14231/ag-2020-008
• 发表时间: 2020
• 期刊: Algebraic Geometry
• 影响因子: 1.5
• 作者: Nakashima Yusuke;Yamaguchi Masami K.;Kanazawa So;Kawazumi Nariya;亀岡智美;Yukinobu Toda
• 通讯作者: Yukinobu Toda