Analysis of discrete Integrable systems by probability theory based on Pitman's transformation

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2021年度は、箱玉系をはじめとする離散可積分系の無限系の不変測度の存在や性質について, Pitman変換を用いたさらなる一般化の解析を進めた。箱玉系だけでなく離散KdV方程式、超離散戸田格子、離散戸田格子の４つのモデルを含む普遍的な枠組みである局所決定力学系を導入することで、今後より広いクラスのモデルに適用可能な理論へと昇華することができた。特に、局所的な時間発展法則を定める二変数の全単射が、独立性保存則、あるいは詳細釣り合い条件、と呼ばれる性質を持つことが、局所決定力学系が独立同分布の不変測度を持つための必要十分条件であることを明らかにした。独立性保存則は、古くはKacらにより、独立性を用いて正規分布を特徴づける一つの方法として導入された。その後、ガンマ分布やベータ分布、指数分布などの重要な分布を特徴づける全単射が発見されるなど、確率論において長く研究されているトピックである。また、2階のq-差分作用素の有理関数への作用を考えることで有理型Heun作用素を導入し，Wilsonによって導入されたq-双直交有理関数との関係を明らかにした。Wilson q-双直交有理関数は、古典直交多項式の頂点に位置する Askey-Wilson 多項式の一般化とみなすことができ，Askey-Wilson多項式をはじめとする古典直交多項式に類似した性質を持つことが知られており、戸田格子の拡張系であるR2格子の特殊解をなす古典双直交有理関数の基礎理論を与えることに成功した。