非線形可積分系の離散化とその応用

本年度においては,非線形可積分系における離散系に対する研究を進めていき、また、超離散系に対する基礎的Max-Plus代数などに対する研究・理解を深めていった。1. 可積分な非線形方程式は微分・差分構造を持った行列式、パフィアンなどの代数的恒等式から構成されるとの観点に立ち、連続変数、差分変数を一体として考える事により、可積分性を保存した離散化に対する基礎的理論の構成が可能となった。2. 可積分性を保存した離散化に対する基礎的理論を基にし,いくつかの離散方程式を構成した。その中には、ModifiedHungry Lotka-Volterra方程式なども含まれ、それら方程式の分子解、不等間隔差分化などの議論にも成功している。これらの方程式は、アルゴリズム論や直交多項式の理論などとも関係があることが予想されており、今後の研究につながるものである。3. 離散可積分系の超離散極限を考える際、Discrete KdV方程式などにおいて、“マイナス"の取り扱いに困難が生じる事が知られている。これらの可積分な差分方程式は、正定値な厳密解を持つことが知られており、厳密解の超離散化は非常に容易である。その際に、見かけ上の負の値を覆い隠すように適当な従属変数を導入することにより、Modified-KdV方程式やSawada-Kotera方程式の等の例においてその困難を排除することに成功した。

本年度においては,非線形可積分系における離散系に対する研究を進めていき、また、超離散系に対する基礎的Max-Plus代数などに対する研究・理解を深めていった。1. 可積分な非線形方程式は微分・差分構造を持った行列式、パフィアンなどの代数的恒等式から構成されるとの観点に立ち、連続変数、差分変数を一体として考える事により、可積分性を保存した離散化に対する基礎的理論の構成が可能となった。2. 可積分性を保存した離散化に対する基礎的理論を基にし,いくつかの離散方程式を構成した。その中には、ModifiedHungry Lotka-Volterra方程式なども含まれ、それら方程式の分子解、不等間隔差分化などの議論にも成功している。これらの方程式は、アルゴリズム論や直交多項式の理論などとも関係があることが予想されており、今後の研究につながるものである。3. 離散可積分系の超離散極限を考える際、Discrete KdV方程式などにおいて、“マイナス"の取り扱いに困難が生じる事が知られている。これらの可積分な差分方程式は、正定値な厳密解を持つことが知られており、厳密解の超離散化は非常に容易である。その際に、見かけ上の負の値を覆い隠すように適当な従属変数を導入することにより、Modified-KdV方程式やSawada-Kotera方程式の等の例においてその困難を排除することに成功した。