強双曲型方程式において弱零条件の果たす役割の解明

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本研究の目的は、アインシュタイン方程式をプロトタイプとする強双曲方程式系に対する非線型摂動について、その安定性を弱零条件として特徴付けることである。アインシュタイン方程式は、適切な座標系を選ぶことにより、空間的超曲面の外的曲率に関する時間発展方程式系と時間発展を伴わない拘束条件の連立系に書き換えることができる。更に、その発展方程式系が強双曲系となるように定式化したものをBSSN形式と呼ぶ。前年度までに、このアインシュタイン方程式のBSSN形式の初期値-境界値問題の函数解析的な取扱いについて考察した。その際に問題となったのは、拘束条件を満たすように選んだ初期データが境界条件と整合的になるかという点であった。この整合性をみるには、時間発展方程式系の中の低階項の働きを調べなくてはいけないことがわかっている。この事実を踏まえ、今年度は、低階項を伴う強双曲型方程式において、低階項がその方程式の解の大域挙動に与える影響を解析した。主要部の固有値分解に附随する従属変数の置き換えにより、速く時間減衰する解の成分と相対的に遅く減衰する成分を形式的に見出すことはできるが、低階項を考慮するとき、その分解が有効であるかは単純な問題ではない。そこで、低階項に特別な形、例えば主要部と同じオーダーのスケーリング則を持つこと仮定して解析を行った。一方、プロトタイプであるBSSN形式において、数値相対論の分野ではシュバルツシルド計量に対応する静的ブラックホールやそれらを重ね合わせた多重ブラックホールの時間発展について研究が行われているが、ブラックホールの内部には本質的な特異点が存在する。そこで、低階項を調べるにあたり、原点に特異点を持つようなものも考察の対象とすることにし、そのような低階項を選んだときに、解の挙動がどのような影響を受けるのか検討した。