非線型波動におけるStrauss予想のある一般化

本研究では、べき乗型の非線型項をもつ波動方程式の初期値問題を一般次元において扱った。台コンパクトな初期値については、その大きさがある意味で十分小さければ、ある臨界指数が存在して、非線型項の原点近傍でのオーダーがその臨界指数よりも真に大きいとき、時間大域的に弱解が存在することが知られていた。また、初期値が球対称の場合には、その無限遠方での減衰度に関する臨界オーダーのあることが知られていた。ここでは、球対称とは限らない一般の初期値に対して大域可解性を示すことを目標とし、ほぼ満足のいく結果が得られた。証明の要点は次の2点である。一つは、斉次波動方程式に対する初期値問題の解を適切な重みつきルベーグ空間で評価できたこと。それには、初期値が属する空間として、通常の微分作用素だけではなく、ローレンツ群に付随するリー代数を表現するベクトル場も加えた微分作用素から生成される重みつきソボレフ空間を採用したことが決め手となった。もう一つは、非斉次波動方程式に対する初期値問題の解について、非斉次項が各時刻において台コンパクトであるという仮定のもとに得られていた評価を一般の場合に拡張したことである。そのために、スケーリングの議論を適用し、非斉次項の空間無限遠方での適当な可積分性の仮定のもと、必要な不等式を導くことができた。以上の準備のもと、よく知られた手順に従って、小さな初期値に対して時間大域解の存在を証明された。結果として、初期値が予想される臨界オーダーより真に速く減衰していればよいことを、初期値の属する空間の性質から結論することができる。

本研究では、べき乗型の非線型項をもつ波動方程式の初期値問題を一般次元において扱った。台コンパクトな初期値については、その大きさがある意味で十分小さければ、ある臨界指数が存在して、非線型項の原点近傍でのオーダーがその臨界指数よりも真に大きいとき、時間大域的に弱解が存在することが知られていた。また、初期値が球対称の場合には、その無限遠方での減衰度に関する臨界オーダーのあることが知られていた。ここでは、球対称とは限らない一般の初期値に対して大域可解性を示すことを目標とし、ほぼ満足のいく結果が得られた。証明の要点は次の2点である。一つは、斉次波動方程式に対する初期値問題の解を適切な重みつきルベーグ空間で評価できたこと。それには、初期値が属する空間として、通常の微分作用素だけではなく、ローレンツ群に付随するリー代数を表現するベクトル場も加えた微分作用素から生成される重みつきソボレフ空間を採用したことが決め手となった。もう一つは、非斉次波動方程式に対する初期値問題の解について、非斉次項が各時刻において台コンパクトであるという仮定のもとに得られていた評価を一般の場合に拡張したことである。そのために、スケーリングの議論を適用し、非斉次項の空間無限遠方での適当な可積分性の仮定のもと、必要な不等式を導くことができた。以上の準備のもと、よく知られた手順に従って、小さな初期値に対して時間大域解の存在を証明された。結果として、初期値が予想される臨界オーダーより真に速く減衰していればよいことを、初期値の属する空間の性質から結論することができる。