強擬凸領域とその境界上の幾何解析

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CR多様体上の不変量や不変微分作用素の性質について研究を行っている．本年度の主な研究成果は以下の通りである．(1) spherical CR多様体のChern類：共形幾何において，局所共形平坦多様体は重要なクラスである．このような多様体の実係数Pontrjagin類は必ず消えることが知られている．私はこのCR幾何における類似として，spherical CR多様体のChern類について研究を行った．まず，実係数の第一Chern類が非自明であるようなspherical CR多様体を構成した．この例から，局所共形平坦多様体の場合のような特性類の消滅は一般には起こらない事がわかった．さらにCR多様体のトラクター束を用いることで，spherical CR多様体の高次の実係数Chern類を第一Chern類を用いて表示する公式を得た．その応用として，spherical CR多様体の構造が入らない強擬凸CR多様体の例を構成した．(2) 臨界CR GJMS作用素のスペクトル：GJMS作用素は共形多様体上に定義される共形不変な微分作用素の族である．このCR幾何における類似として，GoverとGrahamはCR GJMS作用素と呼ばれるCR不変微分作用素を定義した．このCR GJMS作用素は楕円型ではない．しかしながら，劣臨界の場合には劣楕円型であることが知られており，特にそのスペクトルは楕円型とほぼ同じ振る舞いをもつ．一方で，臨界CR GJMS作用素は無限次元の核空間をもち，その解析的な性質は楕円型とは大きく異なる．私はHeisenberg解析という理論を用いて，この作用素のスペクトルは実数内の離散集合であり，0以外の固有値に対応する固有空間は有限次元であることを示した．すなわち，「無限次元の核空間を除けば，臨界CR GJMS作用素は楕円型と同じ振る舞いをもつ」ことを明らかにした．