ＣＲ幾何における大域解析

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共形多様体や強擬凸CR多様体の不変量について幾何的・解析的な観点から研究を行っている．本年度の主な研究成果は以下の通りである．（１）Graham-Wittenエネルギーの第二変分：GrahamとWittenはAdS/CFT対応の研究のなかで，共形多様体内の偶数次元の部分多様体に対する不変量を構成した．これをGraham-Wittenエネルギーと呼ぶ．2017年にGrahamとReichertはこのエネルギーの部分多様体の変形に関する第一変分を計算し，Einstein多様体内の極小部分多様体において第一変分が0になることを示した．本年度はこの場合にエネルギーの第二変分公式を導出した．応用として，単位球面内の全測地的な球面において第二変分が自明な方向を除いて正定値であることを示した．（２）強擬凸CR多様体のChern類に対する制約：CR多様体が強擬凸の場合にChern類にどのような制約を受けるかについて調べた．5次元以上の連結かつ閉な強擬凸CR多様体は滑らかな複素射影代数多様体内の強擬凸領域の境界として実現できることが知られている．この事実から，閉強擬凸CR多様体のChern類に対するある種の消滅定理を証明した．さらに具体例を通して，今回得られた結果がある意味で最良であることを確認した．（３）擬Einstein接触形式の存在に関する安定性：強擬凸CR多様体の不変量であるBurns-Epstein不変量や全Q-prime曲率を定義するためには，擬Einstein接触形式と呼ばれる「弱い」Einstein条件を満たす接触形式が必要不可欠である．特にこれらの不変量のCR構造の変形に対する変分を考えるためには，擬Einstein接触形式の存在が変形について保たれることを保証する必要がある．本年度はこの問題を複素多様体内の実超曲面の変形として実現できるCR構造の変形に対して解決した．