反射的凸多面体を中心とした格子凸多面体の分類理論及び正規性に関する探究

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本研究は格子凸多面体の分類問題と正規性に関する問題を，特に反射的凸多面体に関して調べるものである．本年度は特に反射的凸多面体の面の構造について調べた．これまで知られている結果として，任意の格子凸多面体はある反射的凸多面体の面になっている．この結果に注目して以下の問題を考えた．問題：性質Aを持つ任意の格子凸多面体は，性質Aを持つある反射的凸多面体の面となるか．この問題を特に，性質Aとして正規性や非特異性について考えた結果，正しいことが証明できた．この結果の応用として，まず正規ではあるが，正則単模三角形を持たない反射的凸多面体の存在を示すことができる．つまり，特殊な格子凸多面体の例から，同じ特殊な性質を持つ反射的凸多面体を構成することが可能となった．またもう一つの応用として，本研究の最終目標である小田予想「非特異格子凸多面体は正規である」に対して，次のようなことがわかった．定理「小田予想は非特異反射的凸多面体に対して証明すれば十分である．」非特異凸多面体は各次元に無限個存在するが，非特異反射的凸多面体は各次元に有限個しかないため，調べるべき対象が極めて少なくなった．さらにこの定理から，代数幾何学的には，小田予想は「トーリックFano多様体は常に射影的正規である」を示せれば十分であることがわかる．この結果をベルリン自由大学のChristian Haase氏とともに共著論文として現在執筆中である．