非特異格子凸多面体に関連する代数的および組合せ論的諸問題の解決

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本研究の目的は，可換環論・代数幾何学・数え上げ組合せ論・組合せ論的トポロジーなどの多様な分野が交叉する格子凸多面体論における懸案の未解決問題の解決である．今年度の研究では，関西学院大学の大杉英史氏との共同研究により，有限グラフに付随する安定集合トーリックイデアルが2次の二項式で生成される同値条件を，Kempe同値と呼ばれるグラフ理論における古典的な概念を使い与えることに成功した．この結果から，代表者と大杉氏，立教大学の柴田氏との共同研究におけるperfectly contractile graphの可換環論的特徴づけの予想が，多くの場合成り立つことがわかった．さらにEverettとReedによって予想されたperfectly contractile graphの禁止グラフを用いた特徴づけ予想が正しければ，我々の予想も成り立つことが示せ，予想の妥当性を得ることができた．さらに非特異編極トーリック多様体の分類に関して，断面種数，またはΔ種数が固定されれば，高々有限個の非特異編極トーリック多様体しか存在しないことがわかった．今後は種数が小さい時に，それらを具体的に分類していく．また付随する格子凸多面体が内部に格子点を持った非特異編極トーリック多様体が4次元以上ではCastelnuovoとはならないことが予想できた．今後はこの予想の解決を目指し，最終的には非特異Castelnuovoトーリック多様体の分類を完成させる．