非線形分散型方程式におけるソリトンの数学解析とその応用

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2021年度における主要な研究成果は次のものである．(1) 二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定在波の安定性／不安定性の研究を行った．二重冪NLSでは純冪のときと異なり，周波数によって安定性／不安定性が変化し得ることが知られている．本研究では，エネルギー劣臨界の枠組みで代数ソリトンが現れる斥力的-引力的の非線形相互作用の場合を考えた．この場合は周波数によって安定性／不安定性が変化するための最適な条件が知られていなかったが，1次元のときには最適な条件を完全に決定することができた．最適な条件の導出のためには，代数ソリトンの安定性／不安定性に関するある種の量を捉えることが鍵となり，計算過程でガンマ関数やベータ関数，超幾何級数などの特殊関数が自然に出てくることが分かった．安定性理論と特殊関数論の繋がりはそれ自身興味深いものであり，今後の発展が期待できる．(2) 二次の非線形相互作用をもつNLSの連立系における進行波の研究を行った．質量共鳴条件が成り立つ場合はガリレイ不変性や擬共形不変性があり，定在波をガリレイ変換することで自然に進行波の族が得られる．ここでは質量共鳴条件が成り立たない場合に興味があり，この場合はガリレイ不変性などの対称性が崩れる場合に相当する．本研究では，変分法により基底状態解の存在を示し，二変数の進行波の族を構成した．進行波の族の中には代数ソリトンに相当するものが現れ，質量共鳴条件が成り立つ場合とは大きく状況が異なっていることが明らかになった．さらに進行波解の構成の応用として，大きな初期値に振動項を与えたデータに対する大域解の存在も証明した．どちらの成果も方程式の対称性が崩れることが本質的に効いており，方程式の対称性の崩れが解の性質に影響を与えている様相を観察できた点は意義深い．