非線形シュレディンガー方程式の数学解析

非线性薛定谔方程的数学分析

• 批准号: 17J05828
• 负责人: 林 雅行
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-26 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J05828/
• 关键词: 非線形分散型方程式; ソリトン; 変分法; 安定性; 適切性; ディリクレ境界条件; 周期境界条件; 長周期極限; 楕円函数論

微分型シュレディンガー方程式(derivative nonlinear Schrodinger equation: DNLS)に現れる非線形項に五次の冪乗項の項を加えた方程式に関して、ソリトンの変分的観点から研究を行った。三次の微分項と五次の冪乗項はスケールが釣り合っており、方程式は質量臨界の構造を持っている。そのため、方程式はDNLSのハミルトン構造と質量臨界の構造の双方を保った一般化とみなせる。本研究では五次の項が斥力相互作用を与える場合も含めてソリトンの構造を統一的に調べ、関連するエネルギー空間における大域解の存在やソリトンの安定性を考察した。主要な研究成果は次のものである。（１）変分的な方法によりエネルギー空間の大域解が存在するための質量条件を導出した。これはDNLSの４πの質量条件と自然に対応するものであり、引力相互作用の場合は安定性と不安定性の境目のソリトンの質量で与えられ、斥力相互作用の場合は多項式ソリトンの質量と運動量の和で与えられることが分かった。証明にはソリトンの運動量変化を精密に捉えることが鍵となり、質量条件と基底状態以下を表すポテンシャル井戸との関連性を明らかにすることで得られる。さらに証明に使われるアイディアを駆使することで、DNLSにおける４πの条件を含めた質量条件の特徴付けを変分的観点から明確に与えた。（２）五次の項が斥力相互作用を与えるときのソリトンの安定性を証明した。特に斥力相互作用のもとでは多項式ソリトンが安定になることを示したことが重要な成果であり、引力相互作用における多項式ソリトンの不安定性の結果と対照的なものである。証明は変分的なアプローチを応用することでなされるが、先行研究での方法との違いは、ソリトンの尺度変換に対応する曲線上で変分的議論を行い、安定性における運動量の寄与をより明確にしていることである。

The differential nonlinear Schrodinger equation (DNLS) is developed for non-linear terms, quintic power terms, and additive equations. The third order differential term and the fifth order power term are the same as the equation and the mass critical structure. A generalization of the equation for the structure and mass critical structure. In this paper, we investigate the stability of solutions in large domains by analyzing the interaction between the five terms and the structure of solutions. The main research results are divided into two parts. (1) The quality conditions for the existence of global solutions in different methods are derived. The mass condition of DNLS 4π is the sum of the mass of DNLS 4 π, the mass It is proved that the quantity of motion of the solution is precisely determined by the quality condition and the relationship between the solution and the substrate. The condition of DNLS includes the quality condition of DNLS. (2) The stability of the fifth-order repulsive interaction is proved. This important achievement shows that the interaction between repulsion and polynomial is stable, and the instability of polynomial is the result of gravitational interaction. It is proved that the method of advance study and the method of scale change of separation and stability are clear.

项目成果

Variational approach to nonlinear Schrodinger equations of derivative type I: Global existence

导数类型 I 的非线性薛定谔方程的变分法：全局存在性

• 发表时间: 2019
• 作者: Hashimoto Kazumune;Adachi Shuichi;Dimarogonas Dimos V.;林 雅行;林 雅行;林 雅行
• 通讯作者: 林 雅行

A sufficient condition for global existence of solutions to a generalized derivative nonlinear Schrödinger equation

• DOI: 10.2140/apde.2017.10.1149
• 发表时间: 2016-10
• 期刊: Analysis & PDE
• 影响因子: 2.2
• 作者: Noriyoshi Fukaya;M. Hayashi;Takahisa Inui

On exact periodic traveling wave solutions for the derivative nonlinear Schrodinger equation

关于导数非线性薛定谔方程的精确周期行波解

• 发表时间: 2018
• 作者: Hashimoto Kazumune;Adachi Shuichi;Dimarogonas Dimos V.;林 雅行;林 雅行;林 雅行;林 雅行;Masayuki Hayashi;Masayuki Hayashi;林 雅行;林 雅行
• 通讯作者: 林 雅行

Potential well theory for nonlinear Schrodinger equations with derivative

带导数的非线性薛定谔方程的势井理论

• 发表时间: 2019
• 作者: Hashimoto Kazumune;Adachi Shuichi;Dimarogonas Dimos V.;林 雅行;林 雅行
• 通讯作者: 林 雅行

Variational approach to nonlinear Schrodinger equations of derivative type II: Orbital stability

导数类型 II 的非线性薛定谔方程的变分法：轨道稳定性

• 发表时间: 2019
• 作者: Hashimoto Kazumune;Adachi Shuichi;Dimarogonas Dimos V.;林 雅行;林 雅行;林 雅行;林 雅行
• 通讯作者: 林 雅行