非線形シュレディンガー方程式の数学解析

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微分型シュレディンガー方程式(derivative nonlinear Schrodinger equation: DNLS)に現れる非線形項に五次の冪乗項の項を加えた方程式に関して、ソリトンの変分的観点から研究を行った。三次の微分項と五次の冪乗項はスケールが釣り合っており、方程式は質量臨界の構造を持っている。そのため、方程式はDNLSのハミルトン構造と質量臨界の構造の双方を保った一般化とみなせる。本研究では五次の項が斥力相互作用を与える場合も含めてソリトンの構造を統一的に調べ、関連するエネルギー空間における大域解の存在やソリトンの安定性を考察した。主要な研究成果は次のものである。（１）変分的な方法によりエネルギー空間の大域解が存在するための質量条件を導出した。これはDNLSの４πの質量条件と自然に対応するものであり、引力相互作用の場合は安定性と不安定性の境目のソリトンの質量で与えられ、斥力相互作用の場合は多項式ソリトンの質量と運動量の和で与えられることが分かった。証明にはソリトンの運動量変化を精密に捉えることが鍵となり、質量条件と基底状態以下を表すポテンシャル井戸との関連性を明らかにすることで得られる。さらに証明に使われるアイディアを駆使することで、DNLSにおける４πの条件を含めた質量条件の特徴付けを変分的観点から明確に与えた。（２）五次の項が斥力相互作用を与えるときのソリトンの安定性を証明した。特に斥力相互作用のもとでは多項式ソリトンが安定になることを示したことが重要な成果であり、引力相互作用における多項式ソリトンの不安定性の結果と対照的なものである。証明は変分的なアプローチを応用することでなされるが、先行研究での方法との違いは、ソリトンの尺度変換に対応する曲線上で変分的議論を行い、安定性における運動量の寄与をより明確にしていることである。