Mathematical analysis on solitary waves for nonlinear dispersive equations

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本年度は二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定常解の不安定性の研究を中心に行った。定常解は空間遠方で代数的な減衰をし、指数減衰する通常の定在波と比べて性質が大きく異なり、解析も難しい。安定性／不安定性に関しては線形化作用素のスペクトルの観点から一般論にのせることができず、特に正の周波数をもつ定在波の場合と異なり、線形化作用素の強圧性がエネルギー空間の枠組みで成り立たないことが主要な難しさとなる。本研究ではまず、周波数でパラメータ付けされた定在波の族に対して、零周波数における片側導函数をODE的手法で構成し、その遠方における最適な減衰度／増大度を導出した。次にこの片側導函数を用いて、定在波の不安定性の一般論と整合する不安定方向を構成し、変分的特徴付けとリャプノフ汎函数の議論を経由して定常解の不安定性を証明した。エネルギー空間に属さない片側導函数を適切に局所化し、線形化作用素の強圧性の代わりに定常解の変分的特徴付けを応用することが解析の重要なポイントである。1次元の場合は最適と期待される条件のもとで定常解の不安定性を証明することに成功した。解析の全体的な流れは多次元にも適用できるが、いくつか技術的な問題点が現れ、その一部は今後の課題として残されている。また不安定性理論における片側導函数の構成は臨界減衰をもつポテンシャル付き線形シュレディンガー作用素の理論と密接な関連性があることが分かった。上記以外の成果としては、昨年度から研究していたNLSの連立系における進行波の研究結果を論文に纏め、Math. Ann.に掲載受理された。進行波の変分問題において、エネルギー臨界の問題が現れること、プロファイルの楕円型方程式から非局所的な問題が現れることなど、いくつか興味深い観点を新たに発見した。