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On the density functions related to the value-distributions of zeta-functions

关于与 zeta 函数值分布相关的密度函数

基本信息

批准号：
19J12037
负责人：
峰正博
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は，楕円カスプ形式に付随する保型L関数について，変数の値を固定し，カスプ形式を動かした場合のL関数の値の振る舞いについて研究を行った．主要な成果としては，特にレベルアスペクトと呼ばれる場合の値分布に関して，その値分布に対応する確率密度関数であるM関数を構成したことが挙げられる．類似のM関数の構成は，最初に松本耕二氏と梅垣由美子氏，次いでP. Lebacque氏とA. Zykin氏によっても試みられていたが，いずれもレベルアスペクトの場合には部分的な結果に留まっていた．本研究では，昨年度に行った3次体から生じるArtinのL関数の場合の研究手法を参考に，さらにEichler-Selberg跡公式を確率論的に解釈して適用するなど新しいアイデアも用いて，所望のM関数を構成することに成功した．またこのM関数を応用し，ある種の極限定理の誤差項であるディスクレパンシーの評価に関する研究を続けて行った．Riemannゼータ関数の場合のディスクレパンシー評価については，近年大きなブレイクスルーがあり，この課題はその保型L関数における類似とみなすことができる．本研究ではさらに，確率論におけるBerry-Esseenの不等式などを利用した新手法を用いて，ディスクレパンシー評価に関して現在知られている中で最良の上界を与えるに至った．本年度の後半からは，次なる研究課題としてゼータ関数やL関数の値がどの程度大きくなり得るかという問題について，確率論における大偏差理論の側面からの考察を開始した．この課題に対しては，上記の楕円カスプ形式に付随する保型L関数のほか，Riemannゼータ関数の対数の反復積分で定義される，いわゆる井上のイータ関数も対象として研究を実施した．後者は遠藤健太氏と井上翔太氏との共同研究によるものである．

This year, we will conduct research on the relationship between the number of L and the value of L in the case of changing the form of L and the value of L. The main result is that the distribution of values is related to the accuracy density of the distribution of values. Similar to M, the composition of the number is originally Matsumoto Koji and Umegaki Yumiko, and the second is P. Lebacque's A. Zykin's In this study, we have made reference to the research methods of Artin L relation in the past three years, and we have succeeded in solving the Eichler-Selberg trace formula and applying it to the construction of M relation. The error term of the limit theorem is used in the study of Riemann's relation number. In recent years, the problem is similar to that of preserving the L relation number. In this study, we have confirmed the theory of Berry-Essen inequality and used a new method to evaluate it. Now we know the best upper bound of Berry-Essen inequality. The second half of this year is the beginning of the research topic of the second half of this year. The research topic of the second half of this year is the beginning of the investigation of the theory of large deviation. In response to this topic, Riemann defined the iterative integral of the logarithm of the conformal L correlation number in the form of a square model described above, and conducted research on the object of the Inoue correlation number. The latter is a joint study of Endo Kenta and Inoue Shota.