On the density functions related to the value-distributions of zeta-functions

本年度は，楕円カスプ形式に付随する保型L関数について，変数の値を固定し，カスプ形式を動かした場合のL関数の値の振る舞いについて研究を行った．主要な成果としては，特にレベルアスペクトと呼ばれる場合の値分布に関して，その値分布に対応する確率密度関数であるM関数を構成したことが挙げられる．類似のM関数の構成は，最初に松本耕二氏と梅垣由美子氏，次いでP. Lebacque氏とA. Zykin氏によっても試みられていたが，いずれもレベルアスペクトの場合には部分的な結果に留まっていた．本研究では，昨年度に行った3次体から生じるArtinのL関数の場合の研究手法を参考に，さらにEichler-Selberg跡公式を確率論的に解釈して適用するなど新しいアイデアも用いて，所望のM関数を構成することに成功した．またこのM関数を応用し，ある種の極限定理の誤差項であるディスクレパンシーの評価に関する研究を続けて行った．Riemannゼータ関数の場合のディスクレパンシー評価については，近年大きなブレイクスルーがあり，この課題はその保型L関数における類似とみなすことができる．本研究ではさらに，確率論におけるBerry-Esseenの不等式などを利用した新手法を用いて，ディスクレパンシー評価に関して現在知られている中で最良の上界を与えるに至った．本年度の後半からは，次なる研究課題としてゼータ関数やL関数の値がどの程度大きくなり得るかという問題について，確率論における大偏差理論の側面からの考察を開始した．この課題に対しては，上記の楕円カスプ形式に付随する保型L関数のほか，Riemannゼータ関数の対数の反復積分で定義される，いわゆる井上のイータ関数も対象として研究を実施した．後者は遠藤健太氏と井上翔太氏との共同研究によるものである．

本年度は，楕円カスプ形式に付随する保型L関数について，変数の値を固定し，カスプ形式を動かした場合のL関数の値の振る舞いについて研究を行った．主要な成果としては，特にレベルアスペクトと呼ばれる場合の値分布に関して，その値分布に対応する確率密度関数であるM関数を構成したことが挙げられる．類似のM関数の構成は，最初に松本耕二氏と梅垣由美子氏，次いでP. Lebacque氏とA. Zykin氏によっても試みられていたが，いずれもレベルアスペクトの場合には部分的な結果に留まっていた．本研究では，昨年度に行った3次体から生じるArtinのL関数の場合の研究手法を参考に，さらにEichler-Selberg跡公式を確率論的に解釈して適用するなど新しいアイデアも用いて，所望のM関数を構成することに成功した．またこのM関数を応用し，ある種の極限定理の誤差項であるディスクレパンシーの評価に関する研究を続けて行った．Riemannゼータ関数の場合のディスクレパンシー評価については，近年大きなブレイクスルーがあり，この課題はその保型L関数における類似とみなすことができる．本研究ではさらに，確率論におけるBerry-Esseenの不等式などを利用した新手法を用いて，ディスクレパンシー評価に関して現在知られている中で最良の上界を与えるに至った．本年度の後半からは，次なる研究課題としてゼータ関数やL関数の値がどの程度大きくなり得るかという問題について，確率論における大偏差理論の側面からの考察を開始した．この課題に対しては，上記の楕円カスプ形式に付随する保型L関数のほか，Riemannゼータ関数の対数の反復積分で定義される，いわゆる井上のイータ関数も対象として研究を実施した．後者は遠藤健太氏と井上翔太氏との共同研究によるものである．