Probabilistic models of zeta-functions and applications to number theory

本研究は，ゼータ関数やL関数と呼ばれる一連の関数について，その値の振る舞いを確率論的な解釈に基づいて理解することを目的としたものである．とくに本年度はフルヴィッツゼータ関数および楕円カスプ形式の対称積L関数に着目し，その値分布に関する研究を行うことで以下の成果を得た．第一の成果として，パラメータが代数的な無理数の場合にフルヴィッツゼータ関数の値分布の確率論的なモデルを与え，値の稠密性問題などへ応用することに成功した．パラメータが超越数または有理数の場合には既に有効な確率論的モデルが知られていたが，本成果は残りの場合，つまりパラメータが代数的無理数の場合のフルヴィッツゼータ関数の確率論的研究における，本質的な進展をもたらすものである．今後はゼータ関数のいわゆる普遍性理論への応用など，さらなる展開が期待される．第二の成果はP. Lebacque氏，松本耕二氏，梅垣由美子氏との共同研究で得られた，楕円カスプ形式に付随する対称積L関数のレベルアスペクトでの値分布に付随する「M関数」の構成についてである．M関数とはゼータ関数やL関数の値分布に深く関連する密度関数であり，楕円カスプ形式に付随する通常のL関数の場合には既にM関数の構成が為されていた．本成果はその結果を2次の場合の対称積L関数に拡張したものである．一般次数の対称積L関数への拡張は研究途上であるが，その場合にもテスト関数を特殊化することである程度の成果を得ることができた．

本研究は，ゼータ関数やL関数と呼ばれる一連の関数について，その値の振る舞いを確率論的な解釈に基づいて理解することを目的としたものである．とくに本年度はフルヴィッツゼータ関数および楕円カスプ形式の対称積L関数に着目し，その値分布に関する研究を行うことで以下の成果を得た．第一の成果として，パラメータが代数的な無理数の場合にフルヴィッツゼータ関数の値分布の確率論的なモデルを与え，値の稠密性問題などへ応用することに成功した．パラメータが超越数または有理数の場合には既に有効な確率論的モデルが知られていたが，本成果は残りの場合，つまりパラメータが代数的無理数の場合のフルヴィッツゼータ関数の確率論的研究における，本質的な進展をもたらすものである．今後はゼータ関数のいわゆる普遍性理論への応用など，さらなる展開が期待される．第二の成果はP. Lebacque氏，松本耕二氏，梅垣由美子氏との共同研究で得られた，楕円カスプ形式に付随する対称積L関数のレベルアスペクトでの値分布に付随する「M関数」の構成についてである．M関数とはゼータ関数やL関数の値分布に深く関連する密度関数であり，楕円カスプ形式に付随する通常のL関数の場合には既にM関数の構成が為されていた．本成果はその結果を2次の場合の対称積L関数に拡張したものである．一般次数の対称積L関数への拡張は研究途上であるが，その場合にもテスト関数を特殊化することである程度の成果を得ることができた．