有限群のバーンサイド環の一般化に関する包括的研究

点击翻译按钮获取中文摘要

有限群Gの各部分群Hに対してモノイドM(H)を対応させる、Gのモノイド関手に対して、M-バーンサイド環と呼ばれる、バーンサイド環の一般化MB(G)が定義される。これまでに、MB(G)に関して、Gの部分群HとHの部分群K及び、HからK集合VへのK-写像に対する、Vの部分K-集合に関わる普遍性の概念を導入している。Mがこの普遍性を含むある仮定―仮定Ａ―を満たす場合に、Gの部分群Hに対しMB(H)からMB(G)への乗法的写像である、マッキー分解公式を満たす性質のよいテンソル誘導写像が存在することがわかっている。Gが作用する有限可換モノイドSに関して定まるモノイド関手Mがhereditaryであるとは、Gの各部分群Hに対してM(H)はSの部分半群であり (M(H)の単位元がSの単位元である必要はない)、さらに幾つかの条件が成り立つことを言う。このhereditaryモノイド関手は仮定Ａを満たすことがわかってている。Gの部分群束L(G)は、Gの2つの部分群の積をそれらの共通部分と定めるとき、Gを単位元とするモノイドとなるが、Gの各部分群HにHの正規べき零部分群が作るL(G)の部分半群を対応させるモノイド関手Nが存在することを示した。さらに、モノイド関手Nがhereditaryであることを証明した。上記のN-バーンサイド環について、べき等元による可解群の特徴付けを与えた。CN(G)を非共役なGのべき零部分群の完全集合とするとき、Gが可解群であるための必要十分条件はN-バーンサイド環の原始べき等元の個数がCN(G)の要素の個数であることを証明した。有限左G集合Xの部分集合からなる集合Sub(X)はGが作用する束であり、この束により定まる束バーンサイド環について、Gが可解群であるための必要十分条件に関する研究を進めた。