一般バーンサイド環と一般素数グラフによる群の構造の解明

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一般素数グラフの基本定理として阿部-飯寄によって素数グラフにおけるGruenberg-Kegelタイプの定理、及び、素数同士の連結状態を調べた結果が与えられている。本研究の目的は、更に一般素数グラフとその周辺の現象を調べることにより群の構造を明らかにすることであった。グラフの形状による一般素数グラフの考察として、「偶数位数の有限群が、その位数をFermat素数$r$で整除されれば、$pi(H)={2,r}$を満たす可解部分群$H$をもつ。また、この逆も成立する。」等を示した。また、群論的性質$P$についての一般素数グラフに対応する$P$-部分群の為す束から得られる自然な代数の$G$の作用による不変部分環として、一般バーンサイド環を得ることが出来るが、そのバーンサイド環のイデアルによる分解が一般素数グラフの連結性に強く結びついていることを示した。このように、有限群の部分群束が一般素数グラフの本質であり、その一種の普遍量のようなものであることを見いだし、更に、部分群束を通して、表現論特にバーンサイド環の理論と深く結びついていることを明らかにした。後半においては、部分群束の幾何的構造にスポットライトをあてビルディングの理論からの歩み寄りを模索した。その結果、多くの群の構造を得る基本的な部分群束は、アーベル部分群からなる部分群束であることがわかった。この部分群束のハッセダイアグラムは、群のCommuting Graphと兄弟のような関係であるが、微妙な差があり、その差は群の構造を特徴付けるものであることが明らかになってきた。例えば、Commuting graphによって$A_5$は、完全には特徴付けられないが、ハッセダイアグラムの方では可能である。しかし、巡回群をハッセダイアグラムで特徴づけをすることが出来ない。両者をあわせて初めて完全な特徴づけが可能になる。このようなこが成立することを小さな単純群について成立することを示した。