無限アソシエーションスキームにおけるDelsarte理論の研究

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ユークリッド空間上の有限集合Xで互いに異なる２点間の距離の値が整数であり，素数pを法として，その距離の値の個数がsであるとき，元の個数|X|について，ある自然な上界(mod-p bound)が得られることが知られている[Blokhuis (1984)]. これを任意の代数体の整数環とその素イデアルに拡張することに成功した論文が，代数的組合せ論専門誌Algebraic Combinatoricsへの掲載が決定した。さらに，s=1のとき，先述の上界を達成する例が存在する次元の特徴づけに成功しており，これをまとめた論文も学術誌に投稿済みである。球面をある意味でよく近似する集合としてspherical T-designという概念が知られている。線形計画限界と呼ばれる手法を適用することで，D_4ルート系からなる24点の球面上の集合が，極対的な{2,4,10}-designの元の個数の下界を達成することを示すことができた。さらに，その下界を達成する集合はD_4ルート系のみであることも示すことに成功した。この結果の応用として，D_4ルート格子の一般のshell(原点からの距離が等しい，D_4ルート格子の部分集合)が，D_4ルート系の直交変換たちで分割できることを示した。これは，平尾将剛氏（愛知県立大学），田坂浩二氏（愛知県立大学）との共同研究であり，さらにD_4ルート格子に関わる保形形式などの数論的対象についても調査中である。昨年度から取り組んでいる，擬ユークリッド空間（pseudo-Euclidean space）上の距離集合の論文を完成させ，専門誌へ投稿できた。これは，篠原雅史氏（滋賀大学），須田庄氏（防衛大学校）との共同研究として得られた成果である。