無限次元タイヒミュラー空間上の複素力学系的理論の構築

双曲型リーマン面上の閉測地線の長さの集合は測地線スペクトラムと呼ばれ，曲面の双曲構造を決定するためのデータとして用いられる．測地線スペクトラムは，リーマン面が無限型の場合には特殊な場合を除いて集積点をもつため，測地線スペクトラムの集積点集合の全体を本質的測地線スペクトラムと定義する．二つのリーマン面が漸近的等角同値であれば，それらの本質的測地線スペクトラムは一致することがこれまでの研究でわかっている．また，本質的測地線スペクトラムの一致が漸近的等角同値を必ずしも導かないことがわかっていた．つまり，本質的測地線スペクトラムが一致しているが，漸近的等角同値ではないリーマン面が存在するのだが，今年度の研究では，そのようなリーマン面の本質を見抜き，一般的な主張に拡張するように試みた．リーマン面の複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間の研究において，付随する双曲構造の変形に伴い，変化する各測地線の長さを比較して変形度合を 測ることが可能であり，タイヒミュラー空間上に測地線スペクトラム距離が定義される.漸近的タイヒミュラー空間上にも漸近的測地線スペクトラム擬距離を導入することができるが，必ずしも距離になるとは限らない．昨年度までの研究で，リーマン面がある双曲幾何学的な有界条件を満たしている場合には距離になるが，リーマン面上に双曲的長さが0に収束していくような閉測地線の列が存在する場合には，必ず距離にならないことがわかっていた．今年度の研究では，幾何学的な不変量を用いた研究が難しい無限型リーマン面の（漸近的）タイヒミュラー空間の研究に，測地線スペクトラムの解析の議論を導入し，タイヒミュラー距離と測地線スペクトラム距離との比較も行いながら，これまでに得られていた無限次元タイヒミュラー空間上のタイヒミュラーモジュラー群の力学的考察と融合させることを試みた．

双曲型リーマン面上の閉測地線の長さの集合は測地線スペクトラムと呼ばれ，曲面の双曲構造を決定するためのデータとして用いられる．測地線スペクトラムは，リーマン面が無限型の場合には特殊な場合を除いて集積点をもつため，測地線スペクトラムの集積点集合の全体を本質的測地線スペクトラムと定義する．二つのリーマン面が漸近的等角同値であれば，それらの本質的測地線スペクトラムは一致することがこれまでの研究でわかっている．また，本質的測地線スペクトラムの一致が漸近的等角同値を必ずしも導かないことがわかっていた．つまり，本質的測地線スペクトラムが一致しているが，漸近的等角同値ではないリーマン面が存在するのだが，今年度の研究では，そのようなリーマン面の本質を見抜き，一般的な主張に拡張するように試みた．リーマン面の複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間の研究において，付随する双曲構造の変形に伴い，変化する各測地線の長さを比較して変形度合を 測ることが可能であり，タイヒミュラー空間上に測地線スペクトラム距離が定義される.漸近的タイヒミュラー空間上にも漸近的測地線スペクトラム擬距離を導入することができるが，必ずしも距離になるとは限らない．昨年度までの研究で，リーマン面がある双曲幾何学的な有界条件を満たしている場合には距離になるが，リーマン面上に双曲的長さが0に収束していくような閉測地線の列が存在する場合には，必ず距離にならないことがわかっていた．今年度の研究では，幾何学的な不変量を用いた研究が難しい無限型リーマン面の（漸近的）タイヒミュラー空間の研究に，測地線スペクトラムの解析の議論を導入し，タイヒミュラー距離と測地線スペクトラム距離との比較も行いながら，これまでに得られていた無限次元タイヒミュラー空間上のタイヒミュラーモジュラー群の力学的考察と融合させることを試みた．