Research on construction of new inequalities representing uncertainty relations and their applications

この科学研究費においては２つの目的があった．１つは従来の不確定性関係を表す不等式はHeisenbergの不確定性関係やSchrodingerの不確定性関係などのように積型のものがほとんどであるが、これを和型のものや積型のものとは異なったものとして表せないかという基本的な疑問に基づいた問題提起である．もともと積型で表現される理由は証明でSchwarzの不等式を用いるためであるので、Schwarzの不等式を用いずにある種の不確定性関係を表す不等式が導けないであろうかということである．１つのヒントはノルムの満たす精密な不等式を導くという方法がある．この場合三角不等式が有名であるが、この不等式はもっと精密化できると考えられている．それに関連した結果も多く得られているので、それらを参考にして新しいノルム不等式を取得したい．２つ目は従来の不確定性関係を表す不等式は概してトレース不等式であるが、これをトレース型正線型写像に拡張すればどのような形の不等式が得られるであろうかという問題提起である．不等式の形は成分が作用素であるようなある種の行列不等式に相当する．したがって非トレース型正線型写像の場合はもっと予想不可能になり、困難になる．この２つの問題提起について限定的ではあるがある結果とその関係した結果が得られている．さらにエルミート・アダマール不等式の精密化を試み、その応用としてトレース不等式や作用素不等式が得られることにより従来の不等式の拡張や精密化が重要であることが確認された．またTallisエントロピーの上界と下界の厳密な精密化も合わせて得られた．そして各種の平均についての不等式の複数個への拡張による関係式、複数個の対数平均の新しい定義と従来の定義との比較等、興味ある不等式が得られている．これらの新しい不等式を不確定性関係に応用することで重要な関係式が得られる．

この科学研究費においては２つの目的があった．１つは従来の不確定性関係を表す不等式はHeisenbergの不確定性関係やSchrodingerの不確定性関係などのように積型のものがほとんどであるが、これを和型のものや積型のものとは異なったものとして表せないかという基本的な疑問に基づいた問題提起である．もともと積型で表現される理由は証明でSchwarzの不等式を用いるためであるので、Schwarzの不等式を用いずにある種の不確定性関係を表す不等式が導けないであろうかということである．１つのヒントはノルムの満たす精密な不等式を導くという方法がある．この場合三角不等式が有名であるが、この不等式はもっと精密化できると考えられている．それに関連した結果も多く得られているので、それらを参考にして新しいノルム不等式を取得したい．２つ目は従来の不確定性関係を表す不等式は概してトレース不等式であるが、これをトレース型正線型写像に拡張すればどのような形の不等式が得られるであろうかという問題提起である．不等式の形は成分が作用素であるようなある種の行列不等式に相当する．したがって非トレース型正線型写像の場合はもっと予想不可能になり、困難になる．この２つの問題提起について限定的ではあるがある結果とその関係した結果が得られている．さらにエルミート・アダマール不等式の精密化を試み、その応用としてトレース不等式や作用素不等式が得られることにより従来の不等式の拡張や精密化が重要であることが確認された．またTallisエントロピーの上界と下界の厳密な精密化も合わせて得られた．そして各種の平均についての不等式の複数個への拡張による関係式、複数個の対数平均の新しい定義と従来の定義との比較等、興味ある不等式が得られている．これらの新しい不等式を不確定性関係に応用することで重要な関係式が得られる．