テンソル圏の漸近解析による対称性の変容

今年度は、研究期間を延長した１年目ということで、研究のための交流が復活はしたものの未だ十分ではない状況の下、解析的というよりは、代数的なテンソル圏による対称性の準備作業を多く行った。具体的には、内部対称性の典型的な系統であるA型の単純リー環に付随したテンソル圏の構造を Kazhdan-Wenzl に沿って再検討した。その中で、テンソル圏の構成がなされているのであるが、Schur-Weyl 型定理に基づく同型構成において、変形パラメータの入れ方に不整合なところが見つかり、その修正に多くの時間を費やした。また、外部対称性というべきポアンカレ群の表現の作る圏において、既約表現のテンソル積の積分分解を物理的表現以外にも押し広げ、表現のパラメータが複雑に関与する様子を観察した。その結果、群の表現によるテンソル圏を基礎に据える困難さを実感した。他に前年度末に上梓した積分論で展開した手法をさらに推し進めるべく、より初等的部分との接続を改めて整備した。これは、前年度にまとめた半円分布のずらし操作を実現可能にするStieltjes 変換への直接的アプローチともつながるもので、コーシー・リーマン式への批判から考案された方正関数の手法と異なり多変数関数でも有効な方法となっている。具体的には、開集合上の連続関数の広義積分で絶対収束するものを対象に、押え込み総和表示を駆使することで初等広義積分をルベーグ積分に効率よく移行させるものである。それは単に理論的整備にとどまらず、実用的な面でも効力をもつもので、余面積公式と積分の発散定理の間に密接な関係が可能であることも判明した。このこと自体は目新しいものではないが、発展の可能性を示唆するものである。

今年度は、研究期間を延長した１年目ということで、研究のための交流が復活はしたものの未だ十分ではない状況の下、解析的というよりは、代数的なテンソル圏による対称性の準備作業を多く行った。具体的には、内部対称性の典型的な系統であるA型の単純リー環に付随したテンソル圏の構造を Kazhdan-Wenzl に沿って再検討した。その中で、テンソル圏の構成がなされているのであるが、Schur-Weyl 型定理に基づく同型構成において、変形パラメータの入れ方に不整合なところが見つかり、その修正に多くの時間を費やした。また、外部対称性というべきポアンカレ群の表現の作る圏において、既約表現のテンソル積の積分分解を物理的表現以外にも押し広げ、表現のパラメータが複雑に関与する様子を観察した。その結果、群の表現によるテンソル圏を基礎に据える困難さを実感した。他に前年度末に上梓した積分論で展開した手法をさらに推し進めるべく、より初等的部分との接続を改めて整備した。これは、前年度にまとめた半円分布のずらし操作を実現可能にするStieltjes 変換への直接的アプローチともつながるもので、コーシー・リーマン式への批判から考案された方正関数の手法と異なり多変数関数でも有効な方法となっている。具体的には、開集合上の連続関数の広義積分で絶対収束するものを対象に、押え込み総和表示を駆使することで初等広義積分をルベーグ積分に効率よく移行させるものである。それは単に理論的整備にとどまらず、実用的な面でも効力をもつもので、余面積公式と積分の発散定理の間に密接な関係が可能であることも判明した。このこと自体は目新しいものではないが、発展の可能性を示唆するものである。