データ解析の数学的手法が描く正準テンソル模型の時空描像と時空概念の普遍性

重力を量子力学と無矛盾に定式化すること（量子重力の構築）は理論物理における長年の最重要課題あるが，方向性として，時空間は基本的なものではなく，より基本的な自由度から創発されるという考えがある．その考えに基づく離散的な理論としてテンソル模型がある．正準形式に基づくテンソル模型においては，波動関数の性質を調べることにより，時空の創発現象を調べることができる．本年度の研究では，時空の創発現象を理解する上で重要な成果があった．一つは，波動関数の実部の理解が進んだことである．実部はテンソルを外部パラメータとし複数のベクトルを自由度とする統計系であるが，テンソルのランク分解におけるコスト関数とも解釈でき．データ解析の応用数学の観点からも興味深い系である．前年度までの研究により，この系においてGross-Witten-Wadia相転移に似た現象により量子相から古典層への転移を経て，時空の創発現象が生じることが数値計算により示唆された．本年度の研究では，あるラージN極限を取る事によりこの相転移現象を厳密に計算し，この相転移現象が複数の1次相転移であることを示した．またいくつかのテンソルの例について，この相転移を経て時空がどのように創発されるのかを具体的に見ることができた．もう一つ成果は，運動量表示での正準テンソル模型の波動関数に関する成果である．運動量表示における波動関数の評価の一つの方法として，鞍点法による評価がある．この鞍点方程式は，テンソルの固有値方程式として知られているもので，データ解析の応用数学の観点からも興味深い．しかし，行列の場合と異なり，テンソルの固有値方程式は非線形であり，その性質の理解は容易でない．本年度の研究では，テンソルが正規分布する場合の固有値の分布が0次元の場の理論により表現されることを示し，固有値分布を計算した．

重力を量子力学と無矛盾に定式化すること（量子重力の構築）は理論物理における長年の最重要課題あるが，方向性として，時空間は基本的なものではなく，より基本的な自由度から創発されるという考えがある．その考えに基づく離散的な理論としてテンソル模型がある．正準形式に基づくテンソル模型においては，波動関数の性質を調べることにより，時空の創発現象を調べることができる．本年度の研究では，時空の創発現象を理解する上で重要な成果があった．一つは，波動関数の実部の理解が進んだことである．実部はテンソルを外部パラメータとし複数のベクトルを自由度とする統計系であるが，テンソルのランク分解におけるコスト関数とも解釈でき．データ解析の応用数学の観点からも興味深い系である．前年度までの研究により，この系においてGross-Witten-Wadia相転移に似た現象により量子相から古典層への転移を経て，時空の創発現象が生じることが数値計算により示唆された．本年度の研究では，あるラージN極限を取る事によりこの相転移現象を厳密に計算し，この相転移現象が複数の1次相転移であることを示した．またいくつかのテンソルの例について，この相転移を経て時空がどのように創発されるのかを具体的に見ることができた．もう一つ成果は，運動量表示での正準テンソル模型の波動関数に関する成果である．運動量表示における波動関数の評価の一つの方法として，鞍点法による評価がある．この鞍点方程式は，テンソルの固有値方程式として知られているもので，データ解析の応用数学の観点からも興味深い．しかし，行列の場合と異なり，テンソルの固有値方程式は非線形であり，その性質の理解は容易でない．本年度の研究では，テンソルが正規分布する場合の固有値の分布が0次元の場の理論により表現されることを示し，固有値分布を計算した．