力学系・流体力学の応用解析的研究

流体力学における二相問題に現れるHamilton-Jacobi方程式の数学解析を行なった。二相流体の自由境界の時間発展を記述する１つの方法として、線形輸送方程式によるlevel-set methodがよく知られている。この方法では、自由境界が線形輸送方程式の解(level-set関数という)の0-levelとして得られる。自由境界の幾何学的な量(単位法線ベクトル場、平均曲率など)もlevel-set関数から得られる。数値流体力学ではlevel-set関数を数値計算するが、例えばlevel-set関数の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されない、などの理由により技術的な困難が生じることがある。そこで線形輸送方程式に非線形の補正項を加える方法が知られている。当該年度の研究では、非線形補正された輸送方程式を一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の枠組みで解析した。非線形補正された輸送方程式に対する全空間の初期値問題を粘性解のクラスで解くという先行研究がある。先行結果では、粘性解の0-levelは補正する前の0-levelに一致しているものの、解の連続性しか分からないため幾何学的な量を考察することは難しい。本研究では、有界領域の問題を古典解および粘性解のクラスで考察した。主要な結果として、補正前の0-levelの小さい近傍において、補正された輸送方程式が時間大域的な古典解を持ちかつその古典解の0-levelは補正前のものに一致することを示した。さらに、解の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されることも示した。一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の古典解を十分小さい時間区間で構成することは一般に可能であるが、これを大域的に延長することは非自明である。この結果は、数値流体力学の手法の数学的裏付けでもあり、分野横断的な意義を持つ。

流体力学における二相問題に現れるHamilton-Jacobi方程式の数学解析を行なった。二相流体の自由境界の時間発展を記述する１つの方法として、線形輸送方程式によるlevel-set methodがよく知られている。この方法では、自由境界が線形輸送方程式の解(level-set関数という)の0-levelとして得られる。自由境界の幾何学的な量(単位法線ベクトル場、平均曲率など)もlevel-set関数から得られる。数値流体力学ではlevel-set関数を数値計算するが、例えばlevel-set関数の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されない、などの理由により技術的な困難が生じることがある。そこで線形輸送方程式に非線形の補正項を加える方法が知られている。当該年度の研究では、非線形補正された輸送方程式を一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の枠組みで解析した。非線形補正された輸送方程式に対する全空間の初期値問題を粘性解のクラスで解くという先行研究がある。先行結果では、粘性解の0-levelは補正する前の0-levelに一致しているものの、解の連続性しか分からないため幾何学的な量を考察することは難しい。本研究では、有界領域の問題を古典解および粘性解のクラスで考察した。主要な結果として、補正前の0-levelの小さい近傍において、補正された輸送方程式が時間大域的な古典解を持ちかつその古典解の0-levelは補正前のものに一致することを示した。さらに、解の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されることも示した。一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の古典解を十分小さい時間区間で構成することは一般に可能であるが、これを大域的に延長することは非自明である。この結果は、数値流体力学の手法の数学的裏付けでもあり、分野横断的な意義を持つ。