力学系・流体力学の応用解析的研究

动力系统和流体力学的应用分析研究

• 批准号: 18K13443
• 负责人: 曽我 幸平
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K13443/
• 关键词: level-set method; 線形輸送方程式; Hamilton-Jacobi方程式; 特性曲線の方法; 粘性解; 弱KAM理論; Tonelliの変分法; Navier-Stokes方程式; 二相問題; 弱解; 非圧縮性Navier-Stokes方程式; Leray-Hopfの弱解; 差分法; 時間周期解; 安定性解析・分岐解析; 応用解析; 力学系; 流体力学

流体力学における二相問題に現れるHamilton-Jacobi方程式の数学解析を行なった。二相流体の自由境界の時間発展を記述する１つの方法として、線形輸送方程式によるlevel-set methodがよく知られている。この方法では、自由境界が線形輸送方程式の解(level-set関数という)の0-levelとして得られる。自由境界の幾何学的な量(単位法線ベクトル場、平均曲率など)もlevel-set関数から得られる。数値流体力学ではlevel-set関数を数値計算するが、例えばlevel-set関数の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されない、などの理由により技術的な困難が生じることがある。そこで線形輸送方程式に非線形の補正項を加える方法が知られている。当該年度の研究では、非線形補正された輸送方程式を一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の枠組みで解析した。非線形補正された輸送方程式に対する全空間の初期値問題を粘性解のクラスで解くという先行研究がある。先行結果では、粘性解の0-levelは補正する前の0-levelに一致しているものの、解の連続性しか分からないため幾何学的な量を考察することは難しい。本研究では、有界領域の問題を古典解および粘性解のクラスで考察した。主要な結果として、補正前の0-levelの小さい近傍において、補正された輸送方程式が時間大域的な古典解を持ちかつその古典解の0-levelは補正前のものに一致することを示した。さらに、解の勾配ベクトルの大きさが0-level上で保存されることも示した。一階完全非線形なHamilton-Jacobi方程式の古典解を十分小さい時間区間で構成することは一般に可能であるが、これを大域的に延長することは非自明である。この結果は、数値流体力学の手法の数学的裏付けでもあり、分野横断的な意義を持つ。

Fluid mechanics における two-phase problem に present れるHamilton-Jacobi equation における mathematical analysis を lines なった. Two phase fluid の freedom realm の time 発 exhibition を account す る 1 つ の way と し て, linear transmission equation に よ る level set method - が よ く know ら れ て い る. こ の way で は, freedom realm が linear transport equation is の solution (level - set number of masato と い う) の 0 - level と し て have ら れ る. The free realm is derived from the な quantities in geometry (単 normal, ベ ト, ト field, mean curvature, な られる), the <s:1> level-set number, and the ら ら. The numerical fluid mechanics で は level - set number masato を numerical calculation す る が, example え ば level - set number of masato の hook with ベ ク ト ル の big き さ が 0 - level で save さ れ な い, な ど の reason に よ り technology difficulty な が born じ る こ と が あ る. Youdaoplaceholder0 が で linear transport equation に non-linear <s:1> correction term を plus える method が know られて る る る る. In that year, the <s:1> research で, non-linear correction of された transport equations を first-order completely non-linear なHamilton-Jacobi equations <s:1> 枠 group みで analysis of た た. The non-linear correction of the された transport equation に conducts a preliminary study on the を viscous solution <e:1> ラスで ラスで solution くと う う for the initial value problem of the する full space <e:1>. First results で は, viscous solution の 0 - level は corrected す る の before 0 - level consistent に し て い る も の の, solution の 続 sex し か points か ら な い た め geometry of な を investigation す る こ と は difficult し い. In this study, で, the classical solutions of を and the viscous solutions of および in the bounded domain <s:1> problems are investigated, and ラスで ラスで are examined. Main outcome な と し て, corrected before の 0 - level の small さ い nearly alongside に お い て, corrected さ れ た transport equations が な classical solution of time domain を hold ち か つ そ の classical solution の 0 - level は corrected before の も の に consistent す る こ と を shown し た. Youdaoplaceholder0, unhook ベ, ト, ト, <s:1> large <s:1> さが, at 0-level, で saves される, される, と, た, and た. First-order nonlinear completely な Hamilton - Jacobi equations を の classical solution is very small さ い time interval で constitute す る こ と は に may commonly で あ る が, こ れ を extended large domain に す る こ と は not self-evident で あ る. The <s:1> result of <s:1>, the method of numerical fluid dynamics <s:1>, the application of mathematics けで けで あ あ, and the な significance of the division of boundaries を hold あ.

项目成果

Mathematical Analysis of Finite Difference Method Applied to Hamilton-Jacobi Equations: A Stochastic and Variational Approach

应用于 Hamilton-Jacobi 方程的有限差分法的数学分析：一种随机变分方法

• DOI: 10.11540/bjsiam.32.3_127
• 发表时间: 2022
• 期刊: Bulletin of the Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
• 作者: Masanori Adachi;Nanao Kita;Miguel Cardona and Diego A. Mejia;曽我 幸平
• 通讯作者: 曽我 幸平

Technical University of Darmstadt(ドイツ)

达姆施塔特工业大学（德国）

Weak KAM theory for action minimizing random walks

• DOI: 10.1007/s00526-021-02025-2
• 发表时间: 2020-10
• 期刊: Calculus of Variations and Partial Differential Equations
• 影响因子: 2.1
• 作者: Kohei Soga

Stochastic and variational approach to finite difference approximation of Hamilton-Jacobi equations

Hamilton-Jacobi 方程有限差分近似的随机和变分方法

• DOI: 10.1090/mcom/3437
• 发表时间: 2020
• 期刊: Mathematics of Computation
• 影响因子: 2
• 作者: Hidesato Kuroki;Kohei Soga;喜多 奈々緒;足立真訓;Sasaki Takiko;Masanori Adachi;Kohei Soga
• 通讯作者: Kohei Soga

上海交通大学(中国)

上海交通大学（中国）