流体力学における数値解法の数学解析と解析力学における古典KAM理論の数学解析

流体力学において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系は非一様非圧縮性流体(密度が定数でない非圧縮性流体)や自由境界を伴う二相流体の基礎方程式として現れる。線形輸送方程式は、方程式の構造は極めて単純であるものの、係数として現れる速度場の滑らかさが悪くなると非自明な問題になる。速度場がNavier-Stokes方程式の弱解である場合、Sobolev空間の元を係数とする線形輸送方程式を解かなくてはならない。その数学的基礎理論はDiPerna-Lions(1989年)による。当該年度の研究において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系の弱解を有限差分法で構成するための基礎研究を行った。同連立系を有限要素法・有限体積法で取り扱う先行研究が知られているが、有限差分法による数学解析は知られていない。具体的には以下の成果が得られた。これらの結果は専門学術誌に投稿中である。(1) Sobolev空間の元(非有界)を係数とする線形輸送方程式の弱解を有限差分法(古典的な陽解法および陰解法)で厳密に構成した。また係数が滑らかな場合に、陽解法の収束と誤差評価を解およびその2階導関数まで与えた。(2)この結果を応用して、非一様非圧縮性流体の弱解を有限差分法で厳密に構成した。

流体力学において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系は非一様非圧縮性流体(密度が定数でない非圧縮性流体)や自由境界を伴う二相流体の基礎方程式として現れる。線形輸送方程式は、方程式の構造は極めて単純であるものの、係数として現れる速度場の滑らかさが悪くなると非自明な問題になる。速度場がNavier-Stokes方程式の弱解である場合、Sobolev空間の元を係数とする線形輸送方程式を解かなくてはならない。その数学的基礎理論はDiPerna-Lions(1989年)による。当該年度の研究において、Navier-Stokes方程式と線形輸送方程式の連立系の弱解を有限差分法で構成するための基礎研究を行った。同連立系を有限要素法・有限体積法で取り扱う先行研究が知られているが、有限差分法による数学解析は知られていない。具体的には以下の成果が得られた。これらの結果は専門学術誌に投稿中である。(1) Sobolev空間の元(非有界)を係数とする線形輸送方程式の弱解を有限差分法(古典的な陽解法および陰解法)で厳密に構成した。また係数が滑らかな場合に、陽解法の収束と誤差評価を解およびその2階導関数まで与えた。(2)この結果を応用して、非一様非圧縮性流体の弱解を有限差分法で厳密に構成した。