非線形偏微分方程式の解析を利用したハミルトン力学系の研究

利用非线性偏微分方程分析研究哈密顿动力系统

• 批准号: 08J06856
• 负责人: 曽我 幸平
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J06856/
• 关键词: Lax-Friedrichs差分法; ランダムウォーク; 連続極限; Aubry-Mather理論; Hamliton-Jacobi方程式; 差分法; 解の確率的変分的表現公式; Hamilton力学系; KAM理論; Hamilton-Jacobi方程式; 粘性解; 数値シミュレーション

平成22年度の研究では、双曲型保存則方程式のエントロピー解とこれに同値なHamilton-Jacobi方程式の粘性解に対する、Lax-Friedrichs差分近似を確率論的方法で行うことに成功した。Lax-Friedrichs差分法による近似の収束証明は、通常、アプリオリ評価と関数解析の結果を用いて証明される。ここでは、その収束証明を、ランダムウォークの連続極限の結果を用いて行う。差分化された偏微分方程式は、「数値粘性」と呼ばれる拡散効果を持つ。この拡散効果が時間空間非一様ランダムウォークで特徴付け可能なことを示す。さらに、このランダムウォークの確率測度の時間空間連続極限に対する漸近挙動を詳しく調べることで、近似解の収束証明を行う。ここで必要となるランダムウォークは時間空間非一様なものであり、大数の法則や中心極限定理は一般に成り立たない。またここで用いる連続極限のスケールは「双曲型スケール」と呼ばれるものであり、よく知られたDonskerの定理に現れる「拡散型スケール」とは異なる。差分近似の確率論的取扱いにより、Lax-Oleinik半群による解の表示公式に相当する表示公式が差分解に対して得られる他、差分解と真の解との誤差評価や真の解に付随した特性曲線の近似なども可能となる。特にエントロピー解の近似の収束は、従来の方法で標準的なL1ノルムではなく、各点収束となる。これらの結果は、上述の双曲型保存則方程式またはHamilton-Jacobi方程式に対応するHamilton力学系が有するAubry-Mather集合の差分近似を行う上で重要な役割を演じる。

Pp.47-53 22 year の research で は, hyperbolic conservation equation の is エ ン ト ロ ピ ー solution と こ れ に with numerical な Hamilton - Jacobi equation is の viscosity solution に す seaborne る, Lax - Friedrichs difference approximation を line method of probabilistic theory で う こ と に successful し た. Lax - Friedrichs difference method に よ る approximate の 収 beam prove は, usually, ア プ リ オ リ review 価 と masato number parsing の results を い て prove さ れ る. こ こ で は, そ の 収 を, beam ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク の even 続 limit の results を い う て line. The difference differentiation された partial differential equation and "numerical viscosity" と call ばれる拡 dispersion effect を hold された. こ の scattered services company, fruit が time space than others in ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク で, 徴 may pay け な こ と を す. さ ら に, こ の ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク の of probability measure space even 続 の time limit に す seaborne る asymptotic 挙 dynamic を detailed し く adjustable べ る こ と で, approximate solution の う 収 prove を beam line. こ こ で necessary と な る ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク は time space than others in な も の で あ り の law of large Numbers, a center limit theorem や は に into り commonly made た な い. ま た こ こ で with い る even 続 limit の ス ケ ー ル は "hyperbolic ス ケ ー ル" と shout ば れ る も の で あ り, よ く know ら れ た Donsker の theorem に now れ る type "company ス ケ ー ル" と は different な る. Difference approximation の probabilistic theory take Cha い に よ り, Lax - Oleinik semigroup に よ る solution formula に の said quite す る said formula が difference に し seaborne て must ら れ る he, poor decomposition と の solution と の error evaluation 価 や に pay really の solution with し の た characteristic curve approximation な ど も may と な る. Special に エ ン ト ロ ピ ー の approximate solution の 収 は beam, 従 の way で standard な L1 ノ ル ム で は な く 収 beam at various points, と な る. こ れ ら の results は, の hyperbolic save the above equations ま た は Hamilton - Jacobi equation に 応 seaborne す る Hamilton が department of force have す る ms Aubry - Mather collection の difference approximation on line を う で cut を play important な service じ る.

项目成果

外力付 Burgers 方程式の周期解について

关于Burgers方程在外力作用下的周期解

• 发表时间: 2008
• 作者: Motoko R.Kimura;Syuiti Abe;Katsutoshi Arai;Masakado Kawata;Hiroyuki Munehara;Yudai Kamada;木村幹子・河田雅圭・阿部周一・荒井克俊・宗原弘幸;Yudai Kamada;鎌田雄大;鎌田雄大;木村幹子・河田雅圭・阿部周一・荒井克俊・宗原弘幸;鎌田雄大;宗原弘幸;鎌田雄大;木村幹子;鎌田雄大;鎌田雄大;Kohei Soga;曽我幸平;鎌田雄大;曽我幸平
• 通讯作者: 曽我幸平

Difference Approximation to Aubry-Mather Sets

Aubry-Mather 集的差分逼近

• 发表时间: 2009
• 作者: Motoko R.Kimura;Syuiti Abe;Katsutoshi Arai;Masakado Kawata;Hiroyuki Munehara;Yudai Kamada;木村幹子・河田雅圭・阿部周一・荒井克俊・宗原弘幸;Yudai Kamada;鎌田雄大;鎌田雄大;木村幹子・河田雅圭・阿部周一・荒井克俊・宗原弘幸;鎌田雄大;宗原弘幸;鎌田雄大;木村幹子;鎌田雄大;鎌田雄大;Kohei Soga;曽我幸平
• 通讯作者: 曽我幸平

A point-wise criterion for quasi-periodic motions in the KAM theory

• DOI: 10.1016/j.na.2010.06.058
• 发表时间: 2010-11
• 期刊: Nonlinear Analysis-theory Methods & Applications
• 影响因子: 1.4
• 作者: Kohei Soga