Sensitivitäten zweiter Ordnung für adaptive Schießverfahren zur Lösung von Optimalsteuerungsproblemen in der Verfahrenstechnik

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Die Lösung von hochdimensionalen Optimalsteuerungsproblemen aus der Verfahrenstechnik erfordert spezielle Techniken der Adaption, um mit den verfügbaren Rechnern Ergebnisse in vertretbarer Zeit zu erhalten. Diese adaptiven Techniken sollen im Rahmen des beantragten Projektes weiterentwickelt und verbessert werden. Ausgangspunkt ist das direkte einfache Schießverfahren bzw. das direkte mehrfache Schießverfahren zur Lösung von Optimalsteuerungsproblemen. Die Verbesserungen sollen vor allem durch die Verwendung der exakten zweiten Ableitung der Lagrange-Funktion erreicht werden. Hier soll eine Methode entwickelt werden, die diese Hesse-Matrix sehr schnell bereitstellen kann. Das zu entwickelnde Verfahren für die Berechnung der Hesse-Matrix soll auf den Adjungiertengleichungen 2. Ordnung basieren. Bisher konnte man mit den Adjungiertengleichungen die Hesse-Matrix lediglich für Optimalsteuerungsprobleme ohne Pfadbeschränkungen effizient berechnen. Der zu entwickelnde Ansatz soll die Problemklasse auf allgemeine Optimalsteuerungsprobleme mit oder ohne Pfadbeschränkungen erweitern. Ein erreichbares Ziel ist es, einen Algorithmus zu entwickeln, der die Hesse-Matrix zu den gleichen Kosten im Sinne der Rechenzeit bereitstellt wie Ableitungsinformationen erster Ordnung. Exakte Ableitungsinformationen zweiter Ordnung zeigen quadratische Konvergenz in der Umgebung eines lokalen Optimums bei geeigneten Optimierungsalgorithmen. Diese Eigenschaft soll für adaptierte Probleme ausgenutzt werden, bei deren Lösung man in der Umgebung eines lokalen Optimums startet und somit quadratische Konvergenz erwartet werden kann. Im Rahmen des Projektes sollen zwei verschiedene Ansätze der Adaption auf der Basis umfangreicher eigener Vorarbeiten weiterentwickelt werden: Die Adaption durch Entfernen und Hinzufügen von Basisfunktionen zur Diskretisierung der Steuervariablen und die Adaption durch Reparametrierung des Optimierungsproblems in ein Mehrstufenproblem, das der Struktur der optimalen Lösung Rechnung trägt. Die Leistungsfähigkeit der neuen Methoden wird an herausfordernden Aufgabenstellungen aus der Verfahrenstechnik geprüft.