Wave equations with variable propagation speed and its application for the global solvability of Kirchhoff equation

双曲型方程式の初期値問題において、時間に依存する係数は外力となり解のエネルギーに影響する。さらに、係数の関数としての挙動や様々な性質は、それぞれ解の特定の周波数帯に強い影響を与えることが、これまでの研究からわかっている。それらを背景に、以下のような問題に対して研究を行った。1. 半離散キルヒホフ方程式の初期値問題の時間大域解の存在性について：波動方程式の離散化において、時間変数と空間変数のうち、一方の変数のみに関して離散化したモデルである常微分方程式系を半離散波動方程式といい、本研究では特に空間変数に関して離散化した方程式を考えている。初期値問題に対する半離散波動方程式は可算無限個の常微分方程式系となるが、それを離散時間フーリエ変換すると、連続モデルの波動方程式をフーリエ変換して高周波領域をカットしたモデルとみなすことができる。そこで、従来の連続モデルの研究において低周波帯におけるエネルギー評価のために培った種々のテクニックを用いることが可能となる。これらのアイディアを、本研究代表者が線形の半離散波動方程式の初期値問題のエネルギー評価に応用した手法をベースに、半離散キルヒホフ方程式の大域可解性を証明することができた。２．時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式の初期値問題の解のエネルギー評価について：時間に依存するポテンシャル係数を持つクライン・ゴルドン型方程式のエネルギー評価において、係数の激しい振動は安定性を損ない評価を困難にすると考えられている。しかし、特に低周波領域においては、係数の激しい振動が、実はエネルギーの安定性に寄与する可能性があり、そのような現象が起こるための係数に対する十分条件を与えた。

双曲型方程式の初期値問題において、時間に依存する係数は外力となり解のエネルギーに影響する。さらに、係数の関数としての挙動や様々な性質は、それぞれ解の特定の周波数帯に強い影響を与えることが、これまでの研究からわかっている。それらを背景に、以下のような問題に対して研究を行った。1. 半離散キルヒホフ方程式の初期値問題の時間大域解の存在性について：波動方程式の離散化において、時間変数と空間変数のうち、一方の変数のみに関して離散化したモデルである常微分方程式系を半離散波動方程式といい、本研究では特に空間変数に関して離散化した方程式を考えている。初期値問題に対する半離散波動方程式は可算無限個の常微分方程式系となるが、それを離散時間フーリエ変換すると、連続モデルの波動方程式をフーリエ変換して高周波領域をカットしたモデルとみなすことができる。そこで、従来の連続モデルの研究において低周波帯におけるエネルギー評価のために培った種々のテクニックを用いることが可能となる。これらのアイディアを、本研究代表者が線形の半離散波動方程式の初期値問題のエネルギー評価に応用した手法をベースに、半離散キルヒホフ方程式の大域可解性を証明することができた。２．時間に依存するポテンシャルを持つクライン・ゴルドン型方程式の初期値問題の解のエネルギー評価について：時間に依存するポテンシャル係数を持つクライン・ゴルドン型方程式のエネルギー評価において、係数の激しい振動は安定性を損ない評価を困難にすると考えられている。しかし、特に低周波領域においては、係数の激しい振動が、実はエネルギーの安定性に寄与する可能性があり、そのような現象が起こるための係数に対する十分条件を与えた。